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測度論によって定義される確率の収束 📂確率論

測度論によって定義される確率の収束

確率収束の難しい定義

確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) が与えられたとしよう。

確率変数のシーケンス {Xn}n∈N\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} が確率変数 XX へ測度収束するならば、確率収束すると言い、Xn→PXX_{n} \overset{P}{\to} Xとして示される。

  • 測度論にまだ触れていなければ、確率空間という言葉を無視しても良い。

説明

{Xn}n∈N\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} が XX に収束するというのは、全ての ε>0\varepsilon > 0 に対して lim⁡n→∞P({ω∈Ω:∣Xn(ω)−X(ω)∣≥ε})=0 \lim_{n \to \infty} P \left( \left\{ \omega \in \Omega : | X_{n}(\omega) - X(\omega) | \ge \varepsilon \right\} \right) = 0 ということで、もう少し馴染みやすい形に変えると次のようになる。 lim⁡n→∞P(∣Xn(ω)−X(ω)∣<ε)=1 \lim_{n \to \infty} P \left( | X_{n}(\omega) - X(\omega) | < \varepsilon \right) = 1 確率変数のシーケンスは確率過程なので、確率過程論で有用に使えると推測できる。

測度収束から受け継がれた確率収束の性質:

確率 PP は測度なので、測度収束の性質をそのまま受け継ぐ。

参照