局所積分可能な関数の平均値は中心の関数値に収束する。
📂測度論局所積分可能な関数の平均値は中心の関数値に収束する。
定理
f∈Lloc1としよう。すると、次のことが成り立つ。
r→0limArf(x)=f(x) a.e. x∈Rn
ここで、 a.e. はほぼ至る所でである。
説明
ここでのメッセージは、局所的に積分可能な関数のB(r,x)での体積上の平均値が半径0に近づく極限は、体積の中心の関数値と等しいということである。
証明
体積の半径が0に近づく極限をとるために、あるN∈Nに対して次の式が成立することを示せば十分である。
Arf(x)→f(x) a.e. ∣x∣≤N
同じ理由で、r<1の場合だけ考えればよい。すると、以下の図に示されるように、∣x∣≤Nであり、r<1のとき、Arf(x)=m(Br(x))1∫Br(x)f(y)dyは、f(y)である∣y∣≤N+1によってのみ決定される。したがって、fをfχB(N+1,x)に置き換えることができ、f∈L1と仮定してもよい。

補助定理
f∈L1(m)であり、かつϵ>0としよう。すると、以下の条件を満たすシンプルな関数ϕ=∑1NajχRjが存在する。
∫∣f−ϕ∣<ϵ
さらに、以下の条件を満たす有界な集合の外では関数値が0である連続関数gが存在する。
∫∣f−g∣<ϵ
mはルベーグ測度である。
今、ϵ>0が与えられたとしよう。すると、f∈L1であるため、補助定理により、以下の条件を満たす連続な積分可能な関数gが存在する。
∫∣g(y)−f(y)∣dy<ϵ
さらに、gが連続であるため、全てのx∈Rn、δ>0に対して、以下の条件を満たすr>0が存在する。
∣y−x∣<r⟹∣g(y)−g(x)∣<δ
また、m(B(r,x))1∫B(r,x)dy=1であるため、∣y−x∣<rのときいつでも、以下が成立する。
∣Arg(x)−g(x)∣=m(B(r,x))1∫B(r,x)g(y)dy−g(x)=m(B(r,x))1∫B(r,x)g(y)dy−m(B(r,x))1∫B(r,x)g(x)dy≤m(B(r,x))1∫B(r,x)∣g(y)−g(x)∣dy≤m(B(r,x))1∫B(r,x)δdy=δm(B(r,x))1∫B(r,x)dy=δ
したがって、r→0lim∣Arg(x)−g(x)∣=0である。三角不等式により、以下が成立する。
≤=r→0limsup∣Arf(x)−f(x)∣r→0limsup(∣Arf(x)−Arg(x)∣+∣Arg(x)−g(x)∣+∣g(x)−f(x)∣) r→0limsupH(f−g)(x)+∣g(x)−f(x)∣
次に、Eα、Fαを以下のように考えよう。
Eα={x : r→0limsup∣Arf(x)−f(x)∣>α}Fα={x : ∣g−f∣(x)>α}
すると、(1)により、以下が成立する。
Eα⊂(Fα/2∪{x : H(f−g)(x)>α/2})
Eαに属する要素は、Fα/2または{x : H(f−g)(x)>α/2}のいずれかに必ず属していなければならないため、以下が成立する。
m(Eα)≤m(Fα/2)+m({x : H(f−g)(x)>α/2})
また、Fα/2の定義により、以下が成立する。
⟹m(Fα/2)2αm(Fα/2)≤∫Fα/2∣g−f∣(x)dx<ϵ<α2ϵ
さらに、マキシマル定理により、以下が成立する。
m({x : H(f−g)(x)>α/2})≤α2C∫∣g−f∣(x)dx≤α2Cϵ
したがって、以下の結果を得る。
m(Eα)≤α2ϵ+α2Cϵ=(α2(1+C))ϵ
これはあらゆるϵ>0に対して成立するため、以下を得る。
m(Eα)=0
r→Rlimϕ(r)=c⟺r→Rlimsup∣ϕ(r)−c∣=0
したがって、a.e. x∈Rnに対して、以下を得る。
⟹r→0limsup∣Arf(x)−f(x)∣r→0limArf(x)=0=f(x)
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