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局所積分可能な関数の平均値は中心の関数値に収束する。 📂測度論

局所積分可能な関数の平均値は中心の関数値に収束する。

定理1

fLloc1f \in L^1_{\mathrm{loc}}としよう。すると、次のことが成り立つ。

limr0Arf(x)=f(x) a.e. xRn \lim \limits_{r \rightarrow 0} A_{r} f(x)=f(x) \text{ a.e. } x\in \mathbb{R}^n

ここで、 a.e. \text{ a.e. }ほぼ至る所でである。

説明

ここでのメッセージは、局所的に積分可能な関数のB(r,x)B(r,x)での体積上の平均値が半径00に近づく極限は、体積の中心の関数値と等しいということである。

証明

体積の半径が00に近づく極限をとるために、あるNNN \in \mathbb{N}に対して次の式が成立することを示せば十分である。

Arf(x)f(x) a.e. xN A_{r}f(x) \rightarrow f(x) \text{ a.e. } |x|\le N

同じ理由で、r<1r<1の場合だけ考えればよい。すると、以下の図に示されるように、xN|x| \le Nであり、r<1r<1のとき、Arf(x)=1m(Br(x))Br(x)f(y)dyA_{r} f(x)=\frac{1}{m\big( B_{r}(x) \big)}{\displaystyle \int_{B_{r}(x)}} f(y)dyは、f(y)f(y)であるyN+1|y|\le N+1によってのみ決定される。したがって、fffχB(N+1,x)f\chi_{B(N+1,x)}に置き換えることができ、fL1f\in L^1と仮定してもよい。

5DAEB3081.png

補助定理

fL1(m)f \in L^1(m)であり、かつϵ>0\epsilon>0としよう。すると、以下の条件を満たすシンプルな関数ϕ=1NajχRj\phi=\sum\nolimits_{1}^Na_{j}\chi_{R_{j}}が存在する。

fϕ<ϵ \int |f-\phi| <\epsilon

さらに、以下の条件を満たす有界な集合の外では関数値が00である連続関数ggが存在する。

fg<ϵ \int |f-g| <\epsilon

mmルベーグ測度である。

今、ϵ>0\epsilon>0が与えられたとしよう。すると、fL1f \in L^1であるため、補助定理により、以下の条件を満たす連続な積分可能な関数ggが存在する。

g(y)f(y)dy<ϵ \int |g(y)-f(y)|dy < \epsilon

さらに、ggが連続であるため、全てのxRnx\in \mathbb{R}^nδ>0\delta >0に対して、以下の条件を満たすr>0r>0が存在する。

yx<r    g(y)g(x)<δ |y-x|<r \implies |g(y)-g(x)| < \delta

また、1m(B(r,x))B(r,x)dy=1\frac{1}{m \big( B(r,x)\big)} {\displaystyle \int_{B(r,x)} }dy=1であるため、yx<r|y-x|<rのときいつでも、以下が成立する。

Arg(x)g(x)=1m(B(r,x))B(r,x)g(y)dyg(x)=1m(B(r,x))B(r,x)g(y)dy1m(B(r,x))B(r,x)g(x)dy1m(B(r,x))B(r,x)g(y)g(x)dy1m(B(r,x))B(r,x)δdy=δ1m(B(r,x))B(r,x)dy=δ \begin{align*} |A_{r} g(x)-g(x)| &= \left| \frac{1}{m\big( B(r,x)\big)}\int_{B(r,x)}g(y)dy -g(x) \right| \\ &= \left| \frac{1}{m\big( B(r,x)\big)}\int_{B(r,x)}g(y)dy -\frac{1}{m\big( B(r,x)\big)}\int_{B(r,x)}g(x)dy \right| \\ &\le \frac{1}{m\big( B(r,x)\big)}\int_{B(r,x)}|g(y)-g(x)|dy \\ &\le \frac{1}{m\big( B(r,x)\big)}\int_{B(r,x)} \delta dy \\ &= \delta\frac{1}{m\big( B(r,x)\big)}\int_{B(r,x)} dy \\ &= \delta \end{align*}

したがって、limr0Arg(x)g(x)=0\lim \limits_{r \rightarrow 0} |A_{r} g(x) -g(x)|=0である。三角不等式により、以下が成立する。

lim supr0Arf(x)f(x)lim supr0(Arf(x)Arg(x)+Arg(x)g(x)+g(x)f(x))= lim supr0H(fg)(x)+g(x)f(x) \begin{equation} \begin{aligned} & \limsup \limits_{r\rightarrow 0} |A_{r}f(x)-f(x)| \\ \le& \limsup \limits_{r\rightarrow 0} \Big( |A_{r}f(x)-A_{r} g(x)|+|A_{r}g(x)-g(x)|+|g(x)-f(x)| \Big) \\ =&\ \limsup \limits_{r\rightarrow 0} H(f-g)(x)+ |g(x)-f(x)| \end{aligned} \end{equation}

次に、EαE_\alphaFαF_\alphaを以下のように考えよう。

Eα={x : lim supr0Arf(x)f(x)>α}Fα={x : gf(x)>α} E_\alpha =\left\{ x\ :\ \limsup\limits_{r \rightarrow 0} |A_{r} f(x)-f(x) | > \alpha \right\} \\ F_\alpha =\left\{ x\ :\ |g-f |(x) > \alpha \right\}

すると、(1)(1)により、以下が成立する。

Eα(Fα/2{x : H(fg)(x)>α/2}) E_\alpha \subset \Big( F_{\alpha /2} \cup \left\{ x\ :\ H(f-g)(x) >\alpha /2\right\} \Big)

EαE_\alphaに属する要素は、Fα/2F_{\alpha/2}または{x : H(fg)(x)>α/2}\left\{x\ :\ H(f-g)(x)>\alpha/2 \right\}のいずれかに必ず属していなければならないため、以下が成立する。

m(Eα)m(Fα/2)+m({x : H(fg)(x)>α/2}) m(E_\alpha) \le m(F_{\alpha/2}) + m\Big( \left\{ x\ :\ H(f-g)(x)>\alpha/2\right\}\Big)

また、Fα/2F_{\alpha /2}の定義により、以下が成立する。

m(Fα/2)α2Fα/2gf(x)dx<ϵ    m(Fα/2)<2ϵα \begin{align*} && m(F_{\alpha /2}) \frac{\alpha}{2} & \le \int_{F_{\alpha /2}}|g-f|(x)dx < \epsilon \\ \implies && m(F_{\alpha/2}) &< \frac{2\epsilon}{\alpha} \end{align*}

さらに、マキシマル定理により、以下が成立する。

m({x : H(fg)(x)>α/2})2Cαgf(x)dx2Cϵα m\Big( \left\{ x\ :\ H(f-g)(x) > \alpha/2 \right\} \Big) \le \frac{2C}{\alpha} \int|g-f|(x)dx \le \frac{2C\epsilon}{\alpha}

したがって、以下の結果を得る。

m(Eα)2ϵα+2Cϵα=(2(1+C)α)ϵ m(E_\alpha) \le \frac{2\epsilon}{\alpha}+\frac{2C\epsilon}{\alpha}=\left( \frac{2(1+C)}{\alpha}\right)\epsilon

これはあらゆるϵ>0\epsilon>0に対して成立するため、以下を得る。

m(Eα)=0 m( E_\alpha)=0

limrRϕ(r)=c    lim suprRϕ(r)c=0 \lim \limits_{r\rightarrow R}\phi (r)=c \iff \limsup \limits_{r\rightarrow R}|\phi (r)-c|=0

したがって、a.e.\mathrm{a.e.} xRnx\in\mathbb{R}^nに対して、以下を得る。

lim supr0Arf(x)f(x)=0    limr0Arf(x)=f(x) \begin{align*} && \limsup \limits_{r\rightarrow 0} |A_{r} f(x)-f(x)| &= 0 \\ \implies && \lim \limits_{r \rightarrow 0}A_{r}f(x) &= f(x) \end{align*}


  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p97 ↩︎