📂測度論

ハーディ・リトルウッドの極大関数

定義¹

$ f \in L^1_{\mathrm{loc}}$とする。そうすると、ハーディ・リトルウッドの極大関数$Hf$は次のように定義される。

$$ Hf (x) := \sup \limits_{r>0} A_{r} |f|(x) = \sup \limits_{r>0} \frac{1}{\mu \big( B(r,x) \big)}\int_{B(r,x)}|f(y)|dy $$

$A_{r}f(x)$は$B_{r}(x)$の上で$f$の関数値の平均を意味する。$H$を極大演算子^{maximal operator}という。

定理

• $Hf$はルベーグ可測関数である。
• $f \in L^1_{\mathrm{loc}}$の場合、$A_{r}f(x)$は$r>0$および$x \in \mathbb{R}^n$に関してそれぞれ連続である。