数学における飽和及びファイバーの定義
定義
- セット$X$、$Y$と関数$\pi\ :\ X\rightarrow Y$が与えられているとする。もし$\pi^{-1}\big( \pi (u) \big)=u$が成り立つなら、$u\subset X$を飽和Saturationという。
- セット$\pi^{-1}(y) \subset X$を点$y\in Y$上の$\pi$のファイバーあるいは茎という。
説明
$\pi^{-1}$はプリイメージだ。下の図を見ると簡単に理解できる。
飽和
$u$は常に$\pi^{-1} \big( \pi (u) \big)$以下だ。従って、$u$が飽和するとは、$u$が可能な限り最大になったと理解できる。
ファイバー
簡単に言えば、ある点に対するプリイメージだ。なぜファイバーと呼ばれるのかは、下の図を見れば直感的に理解できるだろう。
また、二つの定義により、以下の事実が容易にわかる。
定理
$u \subset X$が飽和であることは、$u$が$\pi\ :\ X\rightarrow Y$のファイバーの合併であることと同値である。