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分離合併位相空間 📂位相幾何学

分離合併位相空間

定義

{Xα}α∈A\left\{ X_\alpha \right\}_{\alpha \in A}を任意の位相空間インデックス・ファミリーとしよう。u⊂⨆α∈AXαu \subset \bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alphaとする。すると、全てのα∈A\alpha \in Aにおいてu∩Xαu \cap X_\alphaがXα X_\alphaでの開集合の時、uuが⨆α∈AXα\bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alphaで開集合∗^{\ast}であると言われる。

  • ここで言う開集合∗^{\ast}は、厳密には位相数学の開を意味するわけではない。しかし、そのような条件を満たす部分集合uuを集めると、実際に⨆α∈AXα\bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alphaの位相になることが確認できる。だから、開と呼ぶ。

定理

位相としての分離合併集合

T\mathcal{T}を⨆α∈AXα\bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alphaでの開集合∗^{\ast}のコレクションとしよう。また、Tα\mathcal{T}_\alphaをXαX_\alphaの位相としよう。

  • (0)(0): するとT\mathcal{T}は⨆α∈AXα\bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alphaの位相であり、これを分離合併集合の位相disjoint union topologyと呼ぶ。

分離合併集合の位相の性質

⨆α∈AXα\bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alphaを分離合併集合の位相空間としよう。すると

  • (a)(a): YYを任意の位相空間としよう。すると、f : ⨆α∈AXα→Yf\ :\ \bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha \rightarrow Yが連続であることと、∀ β∈A\forall\ \beta\in A、f∘ι : Xβ→Yf\circ \iota\ :\ X_\beta \rightarrow Yが連続であることは同値だ。
  • (b)(b): 分離合併集合の位相は(a)(a)を満たす⨆α∈AXα\bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha上の唯一の位相だ。
  • (c)(c): 部分集合F⊂⨆α∈AXαF \subset \bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alphaが閉集合であることは、全てのα∈A\alpha \in AにおいてF∩XαF\cap X_\alphaがXαX_\alphaで閉集合であることと同値だ。

証明

(0)(0)

戦略: 証明は位相になる三つの条件を満たしているか直接確認すればよい。

(1)(1)

∅,⨆α∈AXα\varnothing, \bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alphaと全てのα∈A\alpha \in Aにおいて ∅∩Xα=∅∈Tα(⨆α∈AXα)∩Xα=Xα∈Tα \varnothing \cap X_\alpha=\varnothing \in \mathcal{T}_\alpha \\ \left( \bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha \right) \cap X_\alpha=X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha 従って ∅,⨆α∈AXα∈T \varnothing, \bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha \in \mathcal{T}

(2)(2)

ui∈T,∀ i∈Nu_{i} \in \mathcal{T},\quad \forall\ i\in \mathbb{N}としよう。すると定義により ui∩Xα∈Tα,∀ i∈N u_{i}\cap X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha,\quad \forall\ i\in \mathbb{N} しかし、 (⋃i=1∞ui)∩Xα=⋃i=1∞(ui∩Xα) \left( \bigcup \limits_{i=1}^\infty u_{i}\right)\cap X_\alpha=\bigcup \limits_{i=1}^\infty \left( u_{i} \cap X_\alpha \right) であり、開集合の可算合併も開集合であるので (⋃i=1∞ui)∩Xα∈Tα \left( \bigcup \limits_{i=1}^\infty u_{i} \right) \cap X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha 従って ⋃i=1∞ ui∈T \bigcup \limits_{i=1}^\infty\ u_{i} \in \mathcal {T}

(3)(3)

u1,u2∈Tu_{1}, u_2 \in \mathcal{T}としよう。すると定義により ui∩Xα∈Tα,i=1,2 u_{i}\cap X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha,\quad i=1,2 しかし、 (u1∩u2)∩Xα=u1∩u2∩Xα∩Xα=(u1∩Xα)∩(u2∩Xα) (u_{1} \cap u_2)\cap X_\alpha=u_{1}\cap u_2\cap X_\alpha \cap X_\alpha=\left( u_{1}\cap X_\alpha \right) \cap \left(u_2\cap X_\alpha \right) であり、開集合の交わりも開集合であるので (u1∩u2)∩Xα∈Tα \left( u_{1} \cap u_2 \right) \cap X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha 従って u1∩u2∈T u_{1}\cap u_2 \in \mathcal {T}

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