分離合併集合: 互いに素な合併集合
📂集合論分離合併集合: 互いに素な合併集合
定義
{Xα}α∈Aを任意のインデックス・ファミリーとしよう。以下のような順序対の集合を{Xα} 分割合併disjoint union,相互排他的な合併と呼ぶ。
α∈A⨆Xα:={(x,α) ∣ x∈Xα, α∈A}
説明
⨆の代わりに⨿、⨄などを使用することもある。⨿は大文字のパイΠではないことに注意しよう。それはΠの反転した形だ。
実際には異なるが同じに見える要素を区別できるように合併を行うとき、どの集合の要素であるかの情報を追加するのだ。例えば、1組の学生の集合をX1={キム・チョルス、キム・ヨンヒ、パク・スチョル、イ・ヒヨン}、2組の学生の集合をX2={キム・チョルス、キム・ヨンヒ、クォン・ヒョンス、チェ・チャンシク}としよう。すると、1組のキム・チョルス、キム・ヨンヒと2組のキム・チョルス、キム・ヨンヒは明らかに別の人だが、外見上は同じに見える。そのため、そのまま合併を行う場合、{キム・チョルス、キム・ヨンヒ、パク・スチョル、イ・ヒヨン、クォン・ヒョンス、チェ・チャンシク}=X1∪X2として実際の合併を正確に表現できないことがある。一方で、X1とX2の分割合併を行うと、
i=1,2⨆Xi={(김철수,1),(김영희,1),(박수철,1),(이희영,1),(김철수,2),(김영희,2),(권현수,2),(최창식,2)}
それぞれがどのクラスに属しているかを明確に表示して、異なる二つの要素が同じ扱いを受けることがない。この概念をよく理解したなら、以下の等式が成り立つことがわかるはずだ。
R2=α∈R⨆Rα
もちろん、これは抽象的な厳密さを話すためのもので、実際にはこのように煩わしく記述せず、重複なく合併したと考える。つまり、各α∈Aに対して、以下のような自然なマッピングを考え、x=(x,α)として扱う。
ια:Xα↪α∈A⨆Xαby x↦(x,α)
Xαとια(Xα)を同じと見なす。結局、分割合併を考える理由は「1組のキム・チョルスと2組のキム・チョルスは違う人だよ〜混同しないでね」と言いたいからで、本質的には以下のように扱う。
α∈A⨆Xα≊α∈A⋃Xα