📂集合論

分離合併集合: 互いに素な合併集合

定義

$\left\{ X_{\alpha} \right\} _{\alpha\in A}$を任意のインデックス・ファミリーとしよう。以下のような順序対の集合を$\left\{ X_{\alpha}\right\}$ 分割合併^{disjoint union,相互排他的な合併}と呼ぶ。

$$ \bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_{\alpha} := \left\{ (x,\alpha)\ |\ x\in X_{\alpha},\ \alpha \in A \right\} $$

説明

$\bigsqcup$の代わりに$\amalg$、$\biguplus$などを使用することもある。$\amalg$は大文字のパイ$\Pi$ではないことに注意しよう。それは$\Pi$の反転した形だ。

実際には異なるが同じに見える¹要素を区別できるように合併を行うとき、どの集合の要素であるかの情報を追加するのだ。例えば、1組の学生の集合を$X_{1}=\left\{ \right.$キム・チョルス、キム・ヨンヒ、パク・スチョル、イ・ヒヨン$\left. \right\}$、2組の学生の集合を$X_{2}=\left\{ \right.$キム・チョルス、キム・ヨンヒ、クォン・ヒョンス、チェ・チャンシク$\left. \right\}$としよう。すると、1組のキム・チョルス、キム・ヨンヒと2組のキム・チョルス、キム・ヨンヒは明らかに別の人だが、外見上は同じに見える。そのため、そのまま合併を行う場合、$\left\{\right.$キム・チョルス、キム・ヨンヒ、パク・スチョル、イ・ヒヨン、クォン・ヒョンス、チェ・チャンシク$ \left. \right\} \ne X_{1} \cup X_{2}$として実際の合併を正確に表現できないことがある。一方で、$X_{1}$と$X_{2}$の分割合併を行うと、

$$ \bigsqcup \limits_{i=1,2} X_{i} =\left\{(\text{김철수},1), (\text{김영희},1), (\text{박수철},1), (\text{이희영},1), (\text{김철수},2), (\text{김영희},2), (\text{권현수},2), (\text{최창식},2) \right\} $$

それぞれがどのクラスに属しているかを明確に表示して、異なる二つの要素が同じ扱いを受けることがない。この概念をよく理解したなら、以下の等式が成り立つことがわかるはずだ。

$$ \mathbb{R}^2 = \bigsqcup_{\alpha \in \mathbb{R}} \mathbb{R}_{\alpha} $$

もちろん、これは抽象的な厳密さを話すためのもので、実際にはこのように煩わしく記述せず、重複なく合併したと考える。つまり、各$\alpha \in A$に対して、以下のような自然なマッピングを考え、$x = (x,\alpha)$として扱う。

$$ \iota_{\alpha} : X_{\alpha} \hookrightarrow \bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_{\alpha} \quad \text{by } x \mapsto (x,\alpha) $$

$X_\alpha$と$\iota_\alpha (X_\alpha)$を同じと見なす。結局、分割合併を考える理由は「1組のキム・チョルスと2組のキム・チョルスは違う人だよ〜混同しないでね」と言いたいからで、本質的には以下のように扱う。

$$ \bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_{\alpha} \approxeq \bigcup \limits_{\alpha \in A} X_{\alpha} $$