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分離合併集合: 互いに素な合併集合 📂集合論

分離合併集合: 互いに素な合併集合

定義

{Xα}αA\left\{ X_{\alpha} \right\} _{\alpha\in A}を任意のインデックス・ファミリーとしよう。以下のような順序対の集合を{Xα}\left\{ X_{\alpha}\right\} 分割合併disjoint union,相互排他的な合併と呼ぶ。

αAXα:={(x,α)  xXα, αA} \bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_{\alpha} := \left\{ (x,\alpha)\ |\ x\in X_{\alpha},\ \alpha \in A \right\}

説明

\bigsqcupの代わりに⨿\amalg\biguplusなどを使用することもある。⨿\amalgは大文字のパイΠ\Piではないことに注意しよう。それはΠ\Piの反転した形だ。

実際には異なるが同じに見える1要素を区別できるように合併を行うとき、どの集合の要素であるかの情報を追加するのだ。例えば、1組の学生の集合をX1={X_{1}=\left\{ \right.キム・チョルス、キム・ヨンヒ、パク・スチョル、イ・ヒヨン}\left. \right\}、2組の学生の集合をX2={X_{2}=\left\{ \right.キム・チョルス、キム・ヨンヒ、クォン・ヒョンス、チェ・チャンシク}\left. \right\}としよう。すると、1組のキム・チョルス、キム・ヨンヒと2組のキム・チョルス、キム・ヨンヒは明らかに別の人だが、外見上は同じに見える。そのため、そのまま合併を行う場合、{\left\{\right.キム・チョルス、キム・ヨンヒ、パク・スチョル、イ・ヒヨン、クォン・ヒョンス、チェ・チャンシク}X1X2 \left. \right\} \ne X_{1} \cup X_{2}として実際の合併を正確に表現できないことがある。一方で、X1X_{1}X2X_{2}の分割合併を行うと、

i=1,2Xi={(김철수,1),(김영희,1),(박수철,1),(이희영,1),(김철수,2),(김영희,2),(권현수,2),(최창식,2)} \bigsqcup \limits_{i=1,2} X_{i} =\left\{(\text{김철수},1), (\text{김영희},1), (\text{박수철},1), (\text{이희영},1), (\text{김철수},2), (\text{김영희},2), (\text{권현수},2), (\text{최창식},2) \right\}

それぞれがどのクラスに属しているかを明確に表示して、異なる二つの要素が同じ扱いを受けることがない。この概念をよく理解したなら、以下の等式が成り立つことがわかるはずだ。

R2=αRRα \mathbb{R}^2 = \bigsqcup_{\alpha \in \mathbb{R}} \mathbb{R}_{\alpha}

もちろん、これは抽象的な厳密さを話すためのもので、実際にはこのように煩わしく記述せず、重複なく合併したと考える。つまり、各αA\alpha \in Aに対して、以下のような自然なマッピングを考え、x=(x,α)x = (x,\alpha)として扱う。

ια:XααAXαby x(x,α) \iota_{\alpha} : X_{\alpha} \hookrightarrow \bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_{\alpha} \quad \text{by } x \mapsto (x,\alpha)

XαX_\alphaια(Xα)\iota_\alpha (X_\alpha)を同じと見なす。結局、分割合併を考える理由は「1組のキム・チョルスと2組のキム・チョルスは違う人だよ〜混同しないでね」と言いたいからで、本質的には以下のように扱う。

αAXααAXα \bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_{\alpha} \approxeq \bigcup \limits_{\alpha \in A} X_{\alpha}


  1. または同じ名前を持っている ↩︎