確率過程における交差点
定義
確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$とサブマルチンゲール $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$が与えられているとする。閉区間$[a,b]$に対して、$X_{t_{1}} \le a$から$X_{t_{2}} \ge b$になることをアップクロッシングと呼ぶ。$N \in \mathbb{N}$までの観測時点でのアップクロッシングの回数は以下のように示される。 $$ \beta_{N} (a,b): = \text{A number of upcrossing of } \left\{ X_{n} \right\} \text{ of interval } [a,b] $$
基本的な性質
- [2]: $\displaystyle E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }}$
- $\chi_{i}$が$\mathcal{F}_{i-1}$-可測関数であるということは、すべてのボレル集合 $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$に対して、$\chi_{i}^{-1} (B) \in \mathcal{F}_{i-1}$という意味である。
説明
簡単に言うと、アップクロッシングとは、$X_{n}$が下限$a$から上限$b$を超えることを指す。$N$までの観測回数を$\beta_{N} (a,b)$と同じように示される。上の図では$\beta_{N} (a,b) = 3$である。
- $$
\tau_{1}:= \min_{n} \left\{ \qquad n \le N: X_{n} \le a \right\}
\\ \tau_{2}:= \min_{n} \left\{ \tau_{1} < n \le N: X_{n} \ge b \right\}
\\ \tau_{3}:= \min_{n} \left\{ \tau_{2} < n \le N: X_{n} \le a \right\}
\\ \tau_{4}:= \min_{n} \left\{ \tau_{2} < n \le N: X_{n} \ge b \right\}
\\ \vdots
$$
上で定義された$\tau_{k}$は、確率変数$X_{n}$が区間$[a,b]$から外れた停止時刻を意味する。定義により、奇数$k$に対しては$a$以下に、偶数$k$に対しては$b$上に外れる瞬間である。だから、通常、自然数$m$に対して、下に外れた瞬間$\tau_{2m-1}$と上に外れた瞬間$\tau_{2m}$として表される。このような表現を使用すると、自然に$m$は$m$回目のアップクロッシングを意味することができる。
$J_{m}$は、$m$回目のアップクロッシングが発生しているインデックスの集合を意味する。数式で表すと、以下のようになる。
$$
J_{m}:= \left\{ k \in \mathbb{N}: \tau_{2m-1} + 1 \le k \le \tau_{2m} \right\}
$$
これに対して、$\chi_{i}$は、アップクロッシングが発生している間のみ$1$であり、それ以外の時は$0$の関数である。このような関数を使用する意図は、アップクロッシングが発生している部分のみを残し、それ以外の関心のない部分は$0$で掛けて消去するためである。数式的には、以下のように定義された指示関数である。
$$
\begin{align*}
\chi_{i} =& \mathbb{1}_{ \bigcup J_{m} }
\\ =& \begin{cases} 0 &, i \in J_{1} \cup \cdots \cup J_{m}
\\ 1 &, \text{otherwise} \end{cases}
\end{align*}
$$
次の図でこれらを視覚的に確認してみよう。
- [2]: $E \beta_{N} (a,b)$を正確に計算することはできないが、その上限を計算することができるのはかなり良いことである。ここで注目すべき点は、すべてのケースを観測するわけではなく、最後になる$E X_{N}^{+}$のみを計算すれば良いということである。
証明
1
パート1. $(\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) = (\tau_{2m-1} < i ) \cap ( i \le \tau_{2m}) $
$\chi_{i}$は、定義により、以下のように表すことができる。 $$ \begin{align*} \chi_{i} =& \mathbb{1}_{\bigcup J_{m}} \\ =& \sum_{m=1}^{\beta_{N} (a,b) } \mathbb{1}_{J_{m}} \\ =& \sum_{m=1}^{\beta_{N} (a,b) } \mathbb{1}_{(\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m})} \end{align*} $$ したがって、$(\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) \in \mathcal{F}_{i-1}$であるかを確認すればよい。交差の問題を解くとき、 $$ (\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) = (\tau_{2m-1} < i ) \cap ( i \le \tau_{2m}) $$
パート2. $(i \le \tau_{2m} ) \in \mathcal{F}_{i-1}$
$\tau_{k}$の定義から、$k = 2m$、つまり偶数の場合は、$X_{n}$が$b$を上回る瞬間を示す。しかし、アップクロッシングが発生するためには、$X_{n}$が$a$の下から$b$の上に行く必要があるので、$X_{n}$が$a$の下に「戻る時間」が少なくとも1ステップ必要である。したがって、$\chi_{i-1} = 1$であり$X_{i-1} \ge b$であれば、次のステップは必然的に$x_{i} = 0$でなければならない。これは、実際には$i-1$までのみ観測して$\mathcal{F}_{i-1}$の情報のみを持っているにも関わらず、$\chi_{i}$を決定したことと変わらない。したがって、$(i \le \tau_{2m} ) \in \mathcal{F}_{i-1}$である。
パート3. $(\tau_{2m-1} < i ) \in \mathcal{F}_{i-1}$
シグマ場 $\mathcal{F}_{i-1}$の定義により $$ \begin{align*} & (i \le \tau_{2m} ) \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (i \le \tau_{2m} )^{c} \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (\tau_{2m} < i ) \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (\tau_{2m-1} < i ) \in \mathcal{F}_{i-1} \end{align*} $$
パート4. $(\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) \in \mathcal{F}_{i-1}$
シグマ場 $\mathcal{F}_{i-1}$の定義により $$ \begin{align*} & (\tau_{2m-1} < i ) \in \mathcal{F}_{i-1} \land (i \le \tau_{2m} ) \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (\tau_{2m-1} < i ) \cap ( i \le \tau_{2m}) \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) \in \mathcal{F}_{i-1} \end{align*} $$
■
[2]
$$ \begin{align*} \beta_{N} (a,b) =& \text{A number of upcrossing of } \left\{ X_{n} \right\} \text{ of interval } [a,b] \\ =& \text{A number of upcrossing of } \left\{ X_{n} - a \right\} \text{ of interval } [0,b-a] \\ =& \text{A number of upcrossing of } \left\{ ( X_{n} - a )^{+} \right\} \text{ of interval } [0,b-a] \end{align*} $$ したがって、$Y_{n}:= ( X_{n} - a )^{+}$に対して以下の不等式を証明すれば、一般性を失うことなく$\displaystyle E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }}$が成立する。 $$ E \beta_{N} (0,b) \le {{ E Y_{N}} \over { b }} $$
パート1. $E \left( Y_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) \ge Y_{n}$
上の図を見ると、$f(x) = (x - a)^{+}$が凸関数であり、減少しない関数であることは容易に確認できる。したがって、条件付きイェンセンの不等式により $$ \begin{align*} E \left( Y_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) =& E \left( ( X_{n+1} - a )^{+} | \mathcal{F}_{n} \right) \\ \ge& \left( E \left( X_{n+1} - a | \mathcal{F}_{n} \right) \right)^{+} \\ \ge& \left( X_{n} - a \right)^{+} \\ =& Y_{n} \end{align*} $$
パート2. $\displaystyle b E \beta_{N} (0,b) \le E Y_{N}$
区間$[0,b]$の長さ$b$がどうであれ、$\tau_{k}$の定義から、$\tau_{2m}$は$b$を上回る時点を意味するので、$Y_{\tau_{2m}} \ge b$であり、$\tau_{2m-1}$は$Y_{k}$が$0$の下に外れる時点を意味するので、$Y_{\tau_{2m}} \le 0$である。それならば、$m$回目のアップクロッシングで$ Y_{k}$が増加した量は$Y_{2m} - Y_{2m-1} \ge b$であり、これは、アップクロッシングが$\beta_{N} [0,b]$回起こるたびに常に成立する。したがって、$b \beta_{N} [0,b]$は、これらの増加した量よりも小さくなければならない。これを式で表すと、
$$
\begin{align*}
b \beta_{N} (0,b) \le & \sum_{m=1}^{\beta_{N} (0,b)} \left( Y_{\tau_{2m}} - Y_{\tau_{2m-1}} \right)
\\ =& \sum_{m=1}^{\beta_{N} (0,b)} \left[ \left( Y_{\tau_{2m}} - Y_{\tau_{2m}-1} \right) + \left( Y_{\tau_{2m}-1} - Y_{\tau_{2m}-2} \right) + \cdots + \left( Y_{\tau_{2m-1}+1} - Y_{\tau_{2m-1}} \right) \right]
\\ =& \sum_{m=1}^{\beta_{N} (0,b)} \sum_{i \in J_{m}} \left( Y_{i} - Y_{i-1} \right)
\end{align*}
$$
インデックスが$\beta_{N} (0,b)$として数えられるのが気に入らないので、$i=1 , \cdots , N$全体を見る代わりに、アップクロッシングが発生している間は$1$をかけ、発生していない場合は$0$をかける$\chi_{i}$を使用する。それならば、上の式は以下のように簡単にまとめられる。
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