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確率過程における交差点 📂確率論

確率過程における交差点

定義

確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P)とサブマルチンゲール {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}が与えられているとする。閉区間[a,b][a,b]に対して、Xt1≤aX_{t_{1}} \le aからXt2≥bX_{t_{2}} \ge bになることをアップクロッシングと呼ぶ。N∈NN \in \mathbb{N}までの観測時点でのアップクロッシングの回数は以下のように示される。 βN(a,b):=A number of upcrossing of {Xn} of interval [a,b] \beta_{N} (a,b): = \text{A number of upcrossing of } \left\{ X_{n} \right\} \text{ of interval } [a,b]

基本的な性質

  • [2]: EβN(a,b)≤EXN++∣a∣b−a\displaystyle E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }}
  • χi\chi_{i}がFi−1\mathcal{F}_{i-1}-可測関数であるということは、すべてのボレル集合 B∈B(R)B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})に対して、χi−1(B)∈Fi−1\chi_{i}^{-1} (B) \in \mathcal{F}_{i-1}という意味である。

説明

20191014\_121834.png 簡単に言うと、アップクロッシングとは、XnX_{n}が下限aaから上限bbを超えることを指す。NNまでの観測回数をβN(a,b)\beta_{N} (a,b)と同じように示される。上の図ではβN(a,b)=3\beta_{N} (a,b) = 3である。

  • τ1:=min⁡n{n≤N:Xn≤a}τ2:=min⁡n{τ1<n≤N:Xn≥b}τ3:=min⁡n{τ2<n≤N:Xn≤a}τ4:=min⁡n{τ2<n≤N:Xn≥b}⋮ \tau_{1}:= \min_{n} \left\{ \qquad n \le N: X_{n} \le a \right\} \\ \tau_{2}:= \min_{n} \left\{ \tau_{1} < n \le N: X_{n} \ge b \right\} \\ \tau_{3}:= \min_{n} \left\{ \tau_{2} < n \le N: X_{n} \le a \right\} \\ \tau_{4}:= \min_{n} \left\{ \tau_{2} < n \le N: X_{n} \ge b \right\} \\ \vdots 上で定義されたτk\tau_{k}は、確率変数XnX_{n}が区間[a,b][a,b]から外れた停止時刻を意味する。定義により、奇数kkに対してはaa以下に、偶数kkに対してはbb上に外れる瞬間である。だから、通常、自然数mmに対して、下に外れた瞬間τ2m−1\tau_{2m-1}と上に外れた瞬間τ2m\tau_{2m}として表される。このような表現を使用すると、自然にmmはmm回目のアップクロッシングを意味することができる。 20191014\_122257.png

JmJ_{m}は、mm回目のアップクロッシングが発生しているインデックスの集合を意味する。数式で表すと、以下のようになる。 Jm:={k∈N:τ2m−1+1≤k≤τ2m} J_{m}:= \left\{ k \in \mathbb{N}: \tau_{2m-1} + 1 \le k \le \tau_{2m} \right\} これに対して、χi\chi_{i}は、アップクロッシングが発生している間のみ11であり、それ以外の時は00の関数である。このような関数を使用する意図は、アップクロッシングが発生している部分のみを残し、それ以外の関心のない部分は00で掛けて消去するためである。数式的には、以下のように定義された指示関数である。 χi=1⋃Jm={0,i∈J1∪⋯∪Jm1,otherwise \begin{align*} \chi_{i} =& \mathbb{1}_{ \bigcup J_{m} } \\ =& \begin{cases} 0 &, i \in J_{1} \cup \cdots \cup J_{m} \\ 1 &, \text{otherwise} \end{cases} \end{align*} 次の図でこれらを視覚的に確認してみよう。 20191014\_122836.png

  • [2]: EβN(a,b)E \beta_{N} (a,b)を正確に計算することはできないが、その上限を計算することができるのはかなり良いことである。ここで注目すべき点は、すべてのケースを観測するわけではなく、最後になるEXN+E X_{N}^{+}のみを計算すれば良いということである。

証明

1

パート1. (τ2m−1<i≤τ2m)=(τ2m−1<i)∩(i≤τ2m)(\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) = (\tau_{2m-1} < i ) \cap ( i \le \tau_{2m})

χi\chi_{i}は、定義により、以下のように表すことができる。 χi=1⋃Jm=∑m=1βN(a,b)1Jm=∑m=1βN(a,b)1(τ2m−1<i≤τ2m) \begin{align*} \chi_{i} =& \mathbb{1}_{\bigcup J_{m}} \\ =& \sum_{m=1}^{\beta_{N} (a,b) } \mathbb{1}_{J_{m}} \\ =& \sum_{m=1}^{\beta_{N} (a,b) } \mathbb{1}_{(\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m})} \end{align*} したがって、(τ2m−1<i≤τ2m)∈Fi−1(\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) \in \mathcal{F}_{i-1}であるかを確認すればよい。交差の問題を解くとき、 (τ2m−1<i≤τ2m)=(τ2m−1<i)∩(i≤τ2m) (\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) = (\tau_{2m-1} < i ) \cap ( i \le \tau_{2m})

パート2. (i≤τ2m)∈Fi−1(i \le \tau_{2m} ) \in \mathcal{F}_{i-1}

τk\tau_{k}の定義から、k=2mk = 2m、つまり偶数の場合は、XnX_{n}がbbを上回る瞬間を示す。しかし、アップクロッシングが発生するためには、XnX_{n}がaaの下からbbの上に行く必要があるので、XnX_{n}がaaの下に「戻る時間」が少なくとも1ステップ必要である。したがって、χi−1=1\chi_{i-1} = 1でありXi−1≥bX_{i-1} \ge bであれば、次のステップは必然的にxi=0x_{i} = 0でなければならない。これは、実際にはi−1i-1までのみ観測してFi−1\mathcal{F}_{i-1}の情報のみを持っているにも関わらず、χi\chi_{i}を決定したことと変わらない。したがって、(i≤τ2m)∈Fi−1(i \le \tau_{2m} ) \in \mathcal{F}_{i-1}である。

パート3. (τ2m−1<i)∈Fi−1(\tau_{2m-1} < i ) \in \mathcal{F}_{i-1}

シグマ場 Fi−1\mathcal{F}_{i-1}の定義により (i≤τ2m)∈Fi−1  ⟹  (i≤τ2m)c∈Fi−1  ⟹  (τ2m<i)∈Fi−1  ⟹  (τ2m−1<i)∈Fi−1 \begin{align*} & (i \le \tau_{2m} ) \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (i \le \tau_{2m} )^{c} \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (\tau_{2m} < i ) \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (\tau_{2m-1} < i ) \in \mathcal{F}_{i-1} \end{align*}

パート4. (τ2m−1<i≤τ2m)∈Fi−1(\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) \in \mathcal{F}_{i-1}

シグマ場 Fi−1\mathcal{F}_{i-1}の定義により (τ2m−1<i)∈Fi−1∧(i≤τ2m)∈Fi−1  ⟹  (τ2m−1<i)∩(i≤τ2m)∈Fi−1  ⟹  (τ2m−1<i≤τ2m)∈Fi−1 \begin{align*} & (\tau_{2m-1} < i ) \in \mathcal{F}_{i-1} \land (i \le \tau_{2m} ) \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (\tau_{2m-1} < i ) \cap ( i \le \tau_{2m}) \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) \in \mathcal{F}_{i-1} \end{align*}

■

[2]

βN(a,b)=A number of upcrossing of {Xn} of interval [a,b]=A number of upcrossing of {Xn−a} of interval [0,b−a]=A number of upcrossing of {(Xn−a)+} of interval [0,b−a] \begin{align*} \beta_{N} (a,b) =& \text{A number of upcrossing of } \left\{ X_{n} \right\} \text{ of interval } [a,b] \\ =& \text{A number of upcrossing of } \left\{ X_{n} - a \right\} \text{ of interval } [0,b-a] \\ =& \text{A number of upcrossing of } \left\{ ( X_{n} - a )^{+} \right\} \text{ of interval } [0,b-a] \end{align*} したがって、Yn:=(Xn−a)+Y_{n}:= ( X_{n} - a )^{+}に対して以下の不等式を証明すれば、一般性を失うことなくEβN(a,b)≤EXN++∣a∣b−a\displaystyle E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }}が成立する。 EβN(0,b)≤EYNb E \beta_{N} (0,b) \le {{ E Y_{N}} \over { b }}

パート1. E(Yn+1∣Fn)≥YnE \left( Y_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) \ge Y_{n}

20191014\_123800.png

上の図を見ると、f(x)=(x−a)+f(x) = (x - a)^{+}が凸関数であり、減少しない関数であることは容易に確認できる。したがって、条件付きイェンセンの不等式により E(Yn+1∣Fn)=E((Xn+1−a)+∣Fn)≥(E(Xn+1−a∣Fn))+≥(Xn−a)+=Yn \begin{align*} E \left( Y_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) =& E \left( ( X_{n+1} - a )^{+} | \mathcal{F}_{n} \right) \\ \ge& \left( E \left( X_{n+1} - a | \mathcal{F}_{n} \right) \right)^{+} \\ \ge& \left( X_{n} - a \right)^{+} \\ =& Y_{n} \end{align*}

パート2. bEβN(0,b)≤EYN\displaystyle b E \beta_{N} (0,b) \le E Y_{N}

20191014\_124310.png 区間[0,b][0,b]の長さbbがどうであれ、τk\tau_{k}の定義から、τ2m\tau_{2m}はbbを上回る時点を意味するので、Yτ2m≥bY_{\tau_{2m}} \ge bであり、τ2m−1\tau_{2m-1}はYkY_{k}が00の下に外れる時点を意味するので、Yτ2m≤0Y_{\tau_{2m}} \le 0である。それならば、mm回目のアップクロッシングでYk Y_{k}が増加した量はY2m−Y2m−1≥bY_{2m} - Y_{2m-1} \ge bであり、これは、アップクロッシングがβN[0,b]\beta_{N} [0,b]回起こるたびに常に成立する。したがって、bβN[0,b]b \beta_{N} [0,b]は、これらの増加した量よりも小さくなければならない。これを式で表すと、 bβN(0,b)≤∑m=1βN(0,b)(Yτ2m−Yτ2m−1)=∑m=1βN(0,b)[(Yτ2m−Yτ2m−1)+(Yτ2m−1−Yτ2m−2)+⋯+(Yτ2m−1+1−Yτ2m−1)]=∑m=1βN(0,b)∑i∈Jm(Yi−Yi−1) \begin{align*} b \beta_{N} (0,b) \le & \sum_{m=1}^{\beta_{N} (0,b)} \left( Y_{\tau_{2m}} - Y_{\tau_{2m-1}} \right) \\ =& \sum_{m=1}^{\beta_{N} (0,b)} \left[ \left( Y_{\tau_{2m}} - Y_{\tau_{2m}-1} \right) + \left( Y_{\tau_{2m}-1} - Y_{\tau_{2m}-2} \right) + \cdots + \left( Y_{\tau_{2m-1}+1} - Y_{\tau_{2m-1}} \right) \right] \\ =& \sum_{m=1}^{\beta_{N} (0,b)} \sum_{i \in J_{m}} \left( Y_{i} - Y_{i-1} \right) \end{align*} インデックスがβN(0,b)\beta_{N} (0,b)として数えられるのが気に入らないので、i=1,⋯ ,Ni=1 , \cdots , N全体を見る代わりに、アップクロッシングが発生している間は11をかけ、発生していない場合は00をかけるχi\chi_{i}を使用する。それならば、上の式は以下のように簡単にまとめられる。 ▶