選択的サンプリング定理の証明
定理
確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ と スーパーマルチンゲール $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ が与えられたとしよう。
$\tau$ と $\sigma$ が $\sigma \le \tau$ と $\mathcal{F}_{n}$ に関してバウンドした停止時刻である場合 $$ E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} \right) \le X_{\sigma} \text{ a.s.} $$
- $\tau$ が $\mathcal{F}_{n}$ に対してバウンドされるとは、すべての $E \in \mathcal{F}_{n}$ に対して $\tau (E) \le N$ を満たす $N \in \mathbb{N}$ が存在するということである。
説明
式自体が示しているのは、$\sigma \le \tau \le N$ という条件がある時に、スーパーマルチンゲールの条件 $$ E \left( X_{\sigma +1} | \mathcal{F} \right) \le X_{\sigma} \text{ a.s.} $$ が $\tau$ に変わっても $$ E \left( X_{\tau} | \mathcal{F} \right) \le X_{\sigma} \text{ a.s.} $$ 不等式の向きが保持されるということだ。
証明
パート1. $\mathbb{1}_{(\sigma = b)} \mathbb{1}_{(\tau \ge n)} = \mathbb{1}_{(\sigma = n)}$
$\sigma \le \tau$ なので $(\sigma = n ) \subset ( \tau \ge n)$ が従い、$\mathbb{1}_{(\sigma = b)} \mathbb{1}_{(\tau \ge n)} = \mathbb{1}_{(\sigma = n)}$
パート2. $( \tau \ge n+1) \in \mathcal{F}_{n}$
$( \tau < n+1) = ( \tau \le n ) \in \mathcal{F}_{n}$ であり、$( \tau < n+1) = ( \tau \ge n+1)^{c}$ を考えると、シグマ場の定義によって $( \tau \ge n+1) \in \mathcal{F}_{n}$ でなければならない。
パート3. $X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma =n)} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \right)$
$n = 1 , \cdots , N$ の場合について考えてみよう。
条件付き期待値の性質: $X$ が $\mathcal{F}$-可測ならば $E(X|\mathcal{F}) =X \text{ a.s.}$
条件付き期待値の性質と指示関数の性質、そしてパート1, 2に従ってすべての事象 $A \in \mathcal{F}_{n}$ に対して $$ \begin{align*} & \int_{A} X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP - \int_{A} E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \\ =& \int_{A} X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \mathbb{1}_{(\tau \ge n)} dP - \int_{A} E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \mathbb{1}_{(\tau \ge n)} dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } X_{n} dP - \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } E \left( X_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) dP - \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } E \left( X_{n} - X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP \end{align*} $$ 積分範囲の $( \tau \ge n)$ を $( \tau > n)$ と $( \tau = n)$ に分割すると、$(X_{\tau} - X_{n}) = 0$ だから $(\tau = n)$ で $$ \begin{align*} & \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP + \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau = n) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP + 0 \end{align*} $$ $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ が スーパーマルチンゲール として与えられ、$X_{\tau}$ が $\mathcal{F}_{n}$-可測であるため、$X_{\tau} = E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \text{ a.s.}$ になる $$ \begin{align*} & \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } X_{n} dP - \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } X_{\tau} dP \\ \ge& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) dP - \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } E \left( X_{n+1} - X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } \left( X_{n+1} - X_{\tau} \right) dP \\ \ge& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +2 ) } \left( X_{n+2} - X_{\tau} \right) dP \\ & \vdots & \\ \ge& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge N ) } \left( X_{N} - X_{\tau} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau = N ) } \left( X_{N} - X_{\tau} \right) dP \\ =& 0 \text{ a.s.} \end{align*} $$ その後、最初に始めた式から $$ \int_{A} X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \ge \int_{A} E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \text{ a.s.} $$ そして$\displaystyle \forall A \in \mathcal{F}, \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}$ であるから $$ X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma =n)} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \text{ a.s.} $$
パート4. $ E \left( X_{\tau} | \mathcal{F} \right) \le X_{\sigma} \text{ a.s.}$
停止時刻の性質: $Z_{n}$ が $F_{n}$-可測関数であれば、$Z_{n} \mathbb{1}_{\sigma = n}$ は $\mathcal{F}_{\sigma}$ と $\mathcal{F}_{n}$ の両方に関して可測関数であり、さらに、$Z_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} = Z_{\sigma} \mathbb{1}_{(\sigma = n)}$ が成り立つ。
停止時刻の性質とパート3によって、$n=1,\cdots, N$ について $$ \begin{align*} & X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma =n)} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \\ \iff & X_{\sigma} \mathbb{1}_{(\sigma =n)} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \\ \iff & X_{\sigma} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} \right) \end{align*} $$
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