ガンマ分布とカイ二乗分布の関係
定理
$$ \Gamma \left( { r \over 2 } , 2 \right) \iff \chi ^2 (r) $$
説明
証明
戦略:二つの分布のモーメント生成関数が同じ形で表現できることを示す。
カイ二乗分布の$\chi ^2 (r)$のモーメント生成関数は$\displaystyle m_{1}(t) = (1- 2t)^{- {r \over 2} }$であり、ガンマ分布の$\Gamma (k, \theta)$のモーメント生成関数は$m_{2}(t) = (1-\theta t)^{-k}$である。ガンマ分布のモーメント生成関数に$\displaystyle k = {r \over 2}$と$\theta = 2$を代入すると、 $$ m_{2}(t) = (1-\theta t)^{-k} = (1- 2t)^{- {r \over 2} } =m_{1}(t) $$
■