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ガンマ分布とカイ二乗分布の関係 📂確率分布論

ガンマ分布とカイ二乗分布の関係

定理

Γ(r2,2)    χ2(r) \Gamma \left( { r \over 2 } , 2 \right) \iff \chi ^2 (r)

説明

ガンマ分布カイ二乗分布は、上記のような性質を持っている。

証明

戦略:二つの分布のモーメント生成関数が同じ形で表現できることを示す。


カイ二乗分布のχ2(r)\chi ^2 (r)のモーメント生成関数はm1(t)=(12t)r2\displaystyle m_{1}(t) = (1- 2t)^{- {r \over 2} }であり、ガンマ分布のΓ(k,θ)\Gamma (k, \theta)のモーメント生成関数はm2(t)=(1θt)km_{2}(t) = (1-\theta t)^{-k}である。ガンマ分布のモーメント生成関数にk=r2\displaystyle k = {r \over 2}θ=2\theta = 2を代入すると、 m2(t)=(1θt)k=(12t)r2=m1(t) m_{2}(t) = (1-\theta t)^{-k} = (1- 2t)^{- {r \over 2} } =m_{1}(t)