📂集合論

和集合の公理

公理

$$ \forall X \left( \exists U \left( \forall a \left( a \in x \land x \in X \implies a \in U \right) \right) \right) $$ 任意の集合$X$に対して、$X$の全ての要素の要素を含む集合$U$が存在する。

和集合の定義 ¹

和集合公理は、以下のように定義される和集合の存在を保証する。 $$ x \in A \lor x \in B \iff x \in A \cup B $$ 任意の二つの集合$A$、$B$に対して、少なくともどちらか一方に属する要素の集合を$A$と$B$の和集合と呼び、$A \cup B$のように示す。

説明

和集合公理と和集合の定義は、明確に異なる。もちろん、定義は単にある概念を言うだけであり、公理がその存在を保証するという違いもあるが、「要素の要素を含む」という表現は異なる。要素1の要素2と言えば、要素1は当然集合であり、要素1の形状は対公理を通じて存在が保証され、$\left\{ A, B \right\}$の$A$、$B$のように見える。言い換えれば、ただの和集合は、$A$と$B$の間の操作$\cup$で作られるものと見ることができ、和集合公理が述べようとしている和集合の概念は、$X = \left\{ A, B \right\}$のような集合の集合が与えられたとき、$U(X) := \left\{ a \in x : x \in X \right\}$のようなものを指す。

実際、学部レベル以下の数学を扱う際にこの区別が大きな意味を持つことはないが、好奇心からでも公理を理解したい、または珍しく必要な場合は、正確に理解して進むべきだ。

基本的性質

集合$X$の部分集合$A$、$B$、$C$に対して、次が成り立つ。

• [1] 同一律: $$ A \cup \emptyset = A \\ A \cap X = A $$
• [2] 冪等律: $$ A \cup A = A \\ A \cap A = A $$
• [3] 交換律: $$ A \cup B = B \cup A \\ A \cap B = B \cap A $$
• [4] 結合律: $$ A \cup ( B \cup C) = (A \cup B) \cup C \\ A \cap (B \cap C) = ( A \cap B ) \cap C $$
• [5] 分配律: $$ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \\ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) $$
• [6] ド・モルガンの定理: $$ (A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \\ (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c} $$
• [7] $$ (A \setminus B)^{c} = A^{c} \cup B $$

証明

[7]

$$ \begin{align*} x \in (A \setminus B)^{c} &\iff x \notin A \setminus B \\ &\iff x \notin A \text{ or } x \in B \\ &\iff x \in A^{c} \text{ or } x \in B \\ &\iff x \in A^{c} \cup B \end{align*} $$

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