📂集合論

分類 公理形

公理 ¹

$$\forall X \exists A \forall a \left( a \in A \iff ( a \in X \land p(a)) \right)$$ 任意の集合 $X$ に対して、性質 $p$ を持つ要素で構成された部分集合 $A$ が存在する。

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• $p(x)$ は $X$ 内の命題関数だ。

説明

$A$ を $X$ の部分集合として限定する理由は、ラッセルの逆理のような問題が起こるのを防ぐためだ。公理ではなく公理形である理由は、この公理が無限に多くの $p(x)$ に基づいて無限に存在するからだ。異なる二つの命題関数 $p_{1}(x)$ と $p_{2}(x)$ があるとすれば、$\left\{ a \in X : p_{2}(a) \text{ is truth} \right\} \subset X$ の存在を保証するのは「$p_{1}(x)$ に関する分類公理」ではなく「$p_{2}(x)$ に関する分類公理」だ。

交わりと差集合の定義 ²

分類公理形は、以下のように定義される交わりの存在を保証する。

$$x \in A \land x \in B \iff x \in A \cap B$$ 任意の二つの集合 $A$、$B$ に対して、両方に属する要素の集合を $A$ と $B$ の交わりといい、$A \cap B$ と表示する。

ここで、集合 $A$ に対して与えられた命題関数は $p(x): x \in B$ で、具体的に $A \cap B= \left\{ x \in A : x \in B \right\}$ のように書ける。もし $A \cap B = \emptyset$ ならば $A$ と $B$ は互いに素^disjointという。

勿論、分類公理形は交わりの存在だけでなく、特定の条件を満たす全ての部分集合の存在も保証する。これは集合を表現する方法の一つである条件提示法そのものと見ることもできる。

$$x \in A \land x \notin B \iff x \in A \setminus B$$ 任意の二つの集合 $A$、$B$ に対して、$A$ には属するが $B$ には属さない要素の集合を $A$ に対する $B$ の差集合といい、$A \setminus B$ と表示する。

集合 $U$ に対して $U \setminus A$ を $A$ の補集合といい、$A^{c}$ と表示する。このように補集合を考えるとき、集合 $U$ を全集合とも呼ぶ。

集合論は無限だが、数学の全ての分野が抽象的な世界全体を探求する必要はない。通常、必要に応じてある全集合を設定し、位相数学のような分野はこれらの概念を特に多く使用する。補集合と全集合に関して、以下のいくつかの性質を紹介する。

基本性質

集合 $A$、$B$ が全集合$U$ の任意の部分集合であるとする。

• [1] $$\left(A^{c} \right)^{c} = A$$
• [2] $$\emptyset^{c} = U \\ U^{c} = \emptyset$$
• [3] $$A \cap A^{c} = \emptyset \\ A \cup A^{c} = U$$
• [4] $$A \subset B \implies B^{c} \subset A^{c}$$
• [5] $$A \setminus B = A \cap B^{c}$$

証明

[5]

$$\begin{align*} x \in A \setminus B &\iff x \in A \text{ and } x \notin B \\ &\iff x \in A \text{ and } x \in B^{c} \\ &\iff x \in A \cap B^{c} \end{align*}$$

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