対の公理

公理

$\forall A \forall B \exists U ( A \in U \land B \in U )$ 任意の二つの集合 $A$ と $B$ について、 $A$ と $B$ を要素として持つ集合 $U$ が存在する。

説明

最初に対の公理に出会ったとき（実際には、ほとんどの公理についても同じだが）、なぜそんな公理が必要なのか疑問に思うかもしれない。しかし、実際には、対の公理は、集合という概念を数学の領域に引き上げる重要な役割を果たすと言える。

集合の定義では、互いに明確に区別されるオブジェクトの集まりを集合としたが、その集合自体が互いに明確に区別されるオブジェクトであるかは、はっきりとしていない。ここで対の公理を仮定すると、任意の集合 $X$ と $X$ は、単一要素集合 $\left\{ X , X \right\} = \left\{ X \right\}$ の要素となるため、すべての集合がそれ自身が「明確に区別されるオブジェクト」であると宣言できる。

今、 $U = \left\{ A, B \right\}$ という言葉は、 $A$ と $B$ を数学的にあいまいさなく扱えると見なすことができる。 $A$ と $B$ を数学的に扱うということは、 $A$ だけでは不足だった部分を $B$ まで引き込んで議論できるということだ。これにより、合集合、冪集合、順序対など、「既存の $A$ より大きくて当然存在すべきものたち」の存在を疑う必要がなくなる。もちろん、 $U$ が存在しなくても、 $A$ より大きい集合を扱う概念自体は考えられるが、最終的に $U$ が存在しなければ、その基盤は非常に不安定になるだろう。