フレシェ微分に対する連鎖律
定理
$(X, \left\| \cdot \right\|_{X}), (Y, \left\| \cdot \right\|_{Y}), (Z, \left\| \cdot \right\|_{Z})$ を バナッハ空間 としよう。$\Omega \subset X$、$U \subset Y$ を 開集合 とする。そして関数 $F : \Omega \to Y$、$G : U \to Z$ が与えられたとする。このとき、$F(\Omega) \subset U$ を満たす。さて、$F$ が $x\in\Omega$ で (フレシェ)微分可能 であるとし、$G$ が $z=F(x)\in U$ で微分可能であるとする。すると、$H:=G \circ F$ も $x\in \Omega$ で微分可能で、以下の式が成立する。
$$ DH(x) = DG(z)DF(x)=DG\big( F(x) \big)\cdot DF(x) $$
説明
当然、フレシェ導関数にも連鎖律が成立する。
証明
まず、$R, R_{1}$ を次のようにしよう。
$$ \begin{equation} R(x,y)=F(x+y)-F(x)-DF(x)y,\quad \forall y\in X,\ x+y\in \Omega \end{equation} $$
$$ \begin{equation} R_{1}(z,w)=G(z+w)-G(z)-DG(z)w,\quad \forall w\in Y,\ z+w\in U \end{equation} $$
すると、仮定により $F$ が $x$ で、$G$ が $z$ で微分可能であるから、
$$ \begin{equation} \lim \limits_{\|y\|_{X} \to 0} \frac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\|y\|_{X}}=0= \lim \limits_{\|w\|_{Y} \to 0} \frac{\| R_{1}(z,w)\|_{Z}}{\|w\|_{Y}} \end{equation} $$
さらに、$(1)$ により、$x+y\in \Omega$ である $y\in X$ について、
$$ \begin{align*} H(x+y) =&\ G\big( F(x+y) \big) \\ =&\ G\big( F(x)+DF(x)y+R(x,y) \big) \end{align*} $$
このとき $DF(x)y+R(x,y)=W^{\prime}$ とすると、$G$ は線形であり $z=F(x)$ であるので $(2)$ により、
$$ \begin{align*} H(x+y) =&\ G(z+W^{\prime}) \\ =&\ G(z)+DG(z)W^{\prime}+R_{1}(z,W^{\prime}) \\ =&\ G(z)+DG(z)\big( DF(x)y+ R(x,y) \big) + R_{1}(z, DF(x)y+R(x,y) \big) \\ =&\ H(x)+DG(z)DF(x)y+DG(z)R(x,y)+ R_{1}\big(z,DF(x)y+R(x,t) \big) \tag{4} \end{align*} $$
最後の二項を $R_2(x,y)$ とし、$f$ が以下のようであるとしよう。
$$ R_2(x,y)=DG(z)R(x,y)+R_{1}\big( z, DF(x)y +R(x,y) \big) \in Z $$
$$ f(w) = \begin{cases} \dfrac{ \| R_{1}(z,w) \|_{Z}}{\|w\|_{Y}} \quad & \forall w \in Y, z+w\in U, w \ne 0 \\ 0 & w=0 \end{cases} $$
すると、$\lim \limits_{\| y\| \to 0} \dfrac{\|R_2(x,y)\|_{Z}}{\|y \|_{X}}=0$ であることが確認できる。ノルム の定義により 三角不等式 が成立し、$ \|L x\|\le \|L\| \|x\|$ であるから、
$$ \begin{align*} \frac{\| R_2(x,y) \|_{Z}}{\|y \|_{X}} \color{red}{\le}& \frac{\| DG(z)R(x,y) \|_{Z} }{\| y\|_{X}} +\frac{\|R_{1} \big( z, DF(x)y+R(x,y) \big)\|_{Z}}{\|y\|_{X}} \\[1em] \color{green}{\le}& \|DG(z)\| \frac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +\frac{\|R_{1} \big(z, DF(x)y+R(x,y) \big)\|_{Z}}{\|y\|_{X}} \end{align*} $$
また、$f$ の定義 と 三角不等式 により、
$$ \begin{array}{ll} & \|DG(z)\| \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +\dfrac{\|R_{1} \big(z, DF(x)y+R(x,y) \big)\|_{Z}}{\|y\|_{X}} \\[1.5em] =&\ \|DG(z)\| \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +\dfrac{\|R_{1} \big(z, DF(x)y+R(x,y) \big)\|_{Z}}{\|DF(x)y +R(x,y)\|_{Y}}\dfrac{\|DF(x)y +R(x,y)\|_{Y}}{\|y\|_{X}} \\[1.5em] \color{magenta}{=}& \|DG(z)\| \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +f\big( DF(x)y +R(x,y) \big)\dfrac{\|DF(x)y +R(x,y)\|_{Y}}{\|y\|_{X}} \\[1.5em] \color{red}{\le}& \|DG(z)\| \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +f\big( DF(x)y +R(x,y) \big)\Bigg[\dfrac{\|DF(x)y\|_{Y}}{\|y\|_{X}} +\dfrac{\|R(x,y)\|_{Y}}{\|y\|_{X}} \Bigg] \\[1.5em] \color{green}{\le}& \|DG(z)\| \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +f\big( DF(x)y +R(x,y) \big)\Bigg[\|DF(x)\|\dfrac{\|y\|_{X}}{\|y\|_{X}} +\dfrac{\|R(x,y)\|_{Y}}{\|y\|_{X}} \Bigg] \end{array} $$
まず、$\lim \limits_{\| y\|_{X} \to 0} \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}}=0$ であるので、最初の項は $\| y\| \to 0$ のとき $0$ である。$(3)$ と $f$ の定義により、$DF(x)y+R(x,y) \to 0$ であれば $f \to 0$ である。微分可能であるという仮定により、$R(x,y) \to 0$ であり、$DF(x)$ は 有界線形 であるので、$\|y\| \to 0$ のとき $DF(x)y \to 0$ である。また、最後の項も微分可能であるという仮定により、$0$ に収束する。したがって、
$$ \lim \limits_{\| y\| \to 0} \frac{\| R_2(x,y) \|_{Z}}{\|y \|_{X}}\le \|DG(z) \| \cdot 0 + 0\cdot \Big[ \|DF(x)\| + 0 \Big] =0 $$
この結果を $(4)$ に適用すると、
$$ H(x+y)-H(x)+DG(z)DF(x)y=R_2(x,y) $$
$$ \implies \frac{\left\|H(x+y)-H(x)+DG(z)DF(x)y\right\|_{Z}}{\|y\|_{X}}=\frac{\left\| R_2(x,y)\right\|_{Z} }{\|y\|_{X}} $$
$$ \implies \lim \limits_{\|y\|_{X} \to 0}\frac{\left\|H(x+y)-H(x)+DG(z)DF(x)y\right\|_{Z}}{\|y\|_{X}}=\lim \limits_{\|y\|_{X} \to 0}\frac{\left\| R_2(x,y)\right\|_{Z} }{\|y\|_{X}}=0 $$
したがって、微分可能の定義 により、$H$ は $x\in \Omega$ で微分可能であり、$H$ の導関数は
$$ DH(x)=DG(z)DF(x) $$
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