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フレシェ微分に対する連鎖律 📂バナッハ空間

フレシェ微分に対する連鎖律

定理

(X,X),(Y,Y),(Z,Z)(X, \left\| \cdot \right\|_{X}), (Y, \left\| \cdot \right\|_{Y}), (Z, \left\| \cdot \right\|_{Z})バナッハ空間 としよう。ΩX\Omega \subset XUYU \subset Y開集合 とする。そして関数 F:ΩYF : \Omega \to YG:UZG : U \to Z が与えられたとする。このとき、F(Ω)UF(\Omega) \subset U を満たす。さて、FFxΩx\in\Omega(フレシェ)微分可能 であるとし、GGz=F(x)Uz=F(x)\in U で微分可能であるとする。すると、H:=GFH:=G \circ FxΩx\in \Omega で微分可能で、以下の式が成立する。

DH(x)=DG(z)DF(x)=DG(F(x))DF(x) DH(x) = DG(z)DF(x)=DG\big( F(x) \big)\cdot DF(x)

説明

当然、フレシェ導関数にも連鎖律が成立する。

証明

まず、R,R1R, R_{1} を次のようにしよう。

R(x,y)=F(x+y)F(x)DF(x)y,yX, x+yΩ \begin{equation} R(x,y)=F(x+y)-F(x)-DF(x)y,\quad \forall y\in X,\ x+y\in \Omega \end{equation}

R1(z,w)=G(z+w)G(z)DG(z)w,wY, z+wU \begin{equation} R_{1}(z,w)=G(z+w)-G(z)-DG(z)w,\quad \forall w\in Y,\ z+w\in U \end{equation}

すると、仮定により FFxx で、GGzz で微分可能であるから、

limyX0R(x,y)YyX=0=limwY0R1(z,w)ZwY \begin{equation} \lim \limits_{\|y\|_{X} \to 0} \frac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\|y\|_{X}}=0= \lim \limits_{\|w\|_{Y} \to 0} \frac{\| R_{1}(z,w)\|_{Z}}{\|w\|_{Y}} \end{equation}

さらに、(1)(1) により、x+yΩx+y\in \Omega である yXy\in X について、

H(x+y)= G(F(x+y))= G(F(x)+DF(x)y+R(x,y)) \begin{align*} H(x+y) =&\ G\big( F(x+y) \big) \\ =&\ G\big( F(x)+DF(x)y+R(x,y) \big) \end{align*}

このとき DF(x)y+R(x,y)=WDF(x)y+R(x,y)=W^{\prime} とすると、GG は線形であり z=F(x)z=F(x) であるので (2)(2) により、

H(x+y)= G(z+W)= G(z)+DG(z)W+R1(z,W)= G(z)+DG(z)(DF(x)y+R(x,y))+R1(z,DF(x)y+R(x,y))= H(x)+DG(z)DF(x)y+DG(z)R(x,y)+R1(z,DF(x)y+R(x,t)) \begin{align*} H(x+y) =&\ G(z+W^{\prime}) \\ =&\ G(z)+DG(z)W^{\prime}+R_{1}(z,W^{\prime}) \\ =&\ G(z)+DG(z)\big( DF(x)y+ R(x,y) \big) + R_{1}(z, DF(x)y+R(x,y) \big) \\ =&\ H(x)+DG(z)DF(x)y+DG(z)R(x,y)+ R_{1}\big(z,DF(x)y+R(x,t) \big) \tag{4} \end{align*}

最後の二項を R2(x,y)R_2(x,y) とし、ff が以下のようであるとしよう。

R2(x,y)=DG(z)R(x,y)+R1(z,DF(x)y+R(x,y))Z R_2(x,y)=DG(z)R(x,y)+R_{1}\big( z, DF(x)y +R(x,y) \big) \in Z

f(w)={R1(z,w)ZwYwY,z+wU,w00w=0 f(w) = \begin{cases} \dfrac{ \| R_{1}(z,w) \|_{Z}}{\|w\|_{Y}} \quad & \forall w \in Y, z+w\in U, w \ne 0 \\ 0 & w=0 \end{cases}

すると、limy0R2(x,y)ZyX=0\lim \limits_{\| y\| \to 0} \dfrac{\|R_2(x,y)\|_{Z}}{\|y \|_{X}}=0 であることが確認できる。ノルム の定義により 三角不等式 が成立し、LxLx \|L x\|\le \|L\| \|x\| であるから、

R2(x,y)ZyXDG(z)R(x,y)ZyX+R1(z,DF(x)y+R(x,y))ZyXDG(z)R(x,y)YyX+R1(z,DF(x)y+R(x,y))ZyX \begin{align*} \frac{\| R_2(x,y) \|_{Z}}{\|y \|_{X}} \color{red}{\le}& \frac{\| DG(z)R(x,y) \|_{Z} }{\| y\|_{X}} +\frac{\|R_{1} \big( z, DF(x)y+R(x,y) \big)\|_{Z}}{\|y\|_{X}} \\[1em] \color{green}{\le}& \|DG(z)\| \frac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +\frac{\|R_{1} \big(z, DF(x)y+R(x,y) \big)\|_{Z}}{\|y\|_{X}} \end{align*}

また、ff の定義三角不等式 により、

DG(z)R(x,y)YyX+R1(z,DF(x)y+R(x,y))ZyX= DG(z)R(x,y)YyX+R1(z,DF(x)y+R(x,y))ZDF(x)y+R(x,y)YDF(x)y+R(x,y)YyX=DG(z)R(x,y)YyX+f(DF(x)y+R(x,y))DF(x)y+R(x,y)YyXDG(z)R(x,y)YyX+f(DF(x)y+R(x,y))[DF(x)yYyX+R(x,y)YyX]DG(z)R(x,y)YyX+f(DF(x)y+R(x,y))[DF(x)yXyX+R(x,y)YyX] \begin{array}{ll} & \|DG(z)\| \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +\dfrac{\|R_{1} \big(z, DF(x)y+R(x,y) \big)\|_{Z}}{\|y\|_{X}} \\[1.5em] =&\ \|DG(z)\| \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +\dfrac{\|R_{1} \big(z, DF(x)y+R(x,y) \big)\|_{Z}}{\|DF(x)y +R(x,y)\|_{Y}}\dfrac{\|DF(x)y +R(x,y)\|_{Y}}{\|y\|_{X}} \\[1.5em] \color{magenta}{=}& \|DG(z)\| \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +f\big( DF(x)y +R(x,y) \big)\dfrac{\|DF(x)y +R(x,y)\|_{Y}}{\|y\|_{X}} \\[1.5em] \color{red}{\le}& \|DG(z)\| \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +f\big( DF(x)y +R(x,y) \big)\Bigg[\dfrac{\|DF(x)y\|_{Y}}{\|y\|_{X}} +\dfrac{\|R(x,y)\|_{Y}}{\|y\|_{X}} \Bigg] \\[1.5em] \color{green}{\le}& \|DG(z)\| \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +f\big( DF(x)y +R(x,y) \big)\Bigg[\|DF(x)\|\dfrac{\|y\|_{X}}{\|y\|_{X}} +\dfrac{\|R(x,y)\|_{Y}}{\|y\|_{X}} \Bigg] \end{array}

まず、limyX0R(x,y)YyX=0\lim \limits_{\| y\|_{X} \to 0} \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}}=0 であるので、最初の項は y0\| y\| \to 0 のとき 00 である。(3)(3)ff の定義により、DF(x)y+R(x,y)0DF(x)y+R(x,y) \to 0 であれば f0f \to 0 である。微分可能であるという仮定により、R(x,y)0R(x,y) \to 0 であり、DF(x)DF(x)有界線形 であるので、y0\|y\| \to 0 のとき DF(x)y0DF(x)y \to 0 である。また、最後の項も微分可能であるという仮定により、00 に収束する。したがって、

limy0R2(x,y)ZyXDG(z)0+0[DF(x)+0]=0 \lim \limits_{\| y\| \to 0} \frac{\| R_2(x,y) \|_{Z}}{\|y \|_{X}}\le \|DG(z) \| \cdot 0 + 0\cdot \Big[ \|DF(x)\| + 0 \Big] =0

この結果を (4)(4) に適用すると、

H(x+y)H(x)+DG(z)DF(x)y=R2(x,y) H(x+y)-H(x)+DG(z)DF(x)y=R_2(x,y)

    H(x+y)H(x)+DG(z)DF(x)yZyX=R2(x,y)ZyX \implies \frac{\left\|H(x+y)-H(x)+DG(z)DF(x)y\right\|_{Z}}{\|y\|_{X}}=\frac{\left\| R_2(x,y)\right\|_{Z} }{\|y\|_{X}}

    limyX0H(x+y)H(x)+DG(z)DF(x)yZyX=limyX0R2(x,y)ZyX=0 \implies \lim \limits_{\|y\|_{X} \to 0}\frac{\left\|H(x+y)-H(x)+DG(z)DF(x)y\right\|_{Z}}{\|y\|_{X}}=\lim \limits_{\|y\|_{X} \to 0}\frac{\left\| R_2(x,y)\right\|_{Z} }{\|y\|_{X}}=0

したがって、微分可能の定義 により、HHxΩx\in \Omega で微分可能であり、HH の導関数は

DH(x)=DG(z)DF(x) DH(x)=DG(z)DF(x)