集合の包含関係
📂集合論集合の包含関係
定義
A⊂B⟺∀x(x∈A⟹x∈B)
任意の集合 A、 B について、A の全ての要素が B の要素である場合、A は B の部分集合subset、 B は A の上位集合supersetと言い、A⊂B として表される。
解説
A⊂B であり B⊂A である場合、A を B の真部分集合proper Subsetと言い、A⊊B として表される。
細かい注意点として、A⊂B は A が B に含まれると言い、a∈A は a が A に属すると言うことである。これが同じに見えるかもしれないが、実際の言語の習慣では混乱が生じやすいし、意味が通じていれば無理に突っ込む人はほとんどいない。しかし、包含関係は集合同士で定義されたものであり、a∈A を「集合と要素の所属関係」とは言わない点は、知っておくべき違いである。
定理: 包含関係の推移性transitivity
任意の集合 A、 B、 C に対して
A⊂B∧B⊂C⟹A⊂C
証明
仮定により、
A⊂B⟺∀x(x∈A⟹x∈B)B⊂C⟺∀x(x∈B⟹x∈C)
三段論法によると、
∀x(x∈A⟹x∈C)⟺A⊂C
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