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集合の包含関係 📂集合論

集合の包含関係

定義 1

AB    x(xA    xB) A \subset B \iff \forall x (x\in A \implies x \in B) 任意の集合 AABB について、AA の全ての要素が BB の要素である場合、AABB部分集合subsetBBAA上位集合supersetと言い、ABA \subset B として表される。

解説

ABA \subset B であり B⊄AB \not\subset A である場合、AABB真部分集合proper Subsetと言い、ABA \subsetneq B として表される。

細かい注意点として、ABA \subset BAABB に含まれると言い、aAa \in AaaAA に属すると言うことである。これが同じに見えるかもしれないが、実際の言語の習慣では混乱が生じやすいし、意味が通じていれば無理に突っ込む人はほとんどいない。しかし、包含関係は集合同士で定義されたものであり、aAa \in A を「集合と要素の所属関係」とは言わない点は、知っておくべき違いである。

定理: 包含関係の推移性transitivity

任意の集合 AABBCC に対して ABBC    ACA \subset B \land B \subset C \implies A \subset C

証明

仮定により、 AB    x(xA    xB)BC    x(xB    xC) A \subset B \iff \forall x (x\in A \implies x \in B) \\ B \subset C \iff \forall x (x\in B \implies x \in C) 三段論法によると、 x(xA    xC)    AC \forall x (x\in A \implies x \in C) \iff A \subset C


  1. 金星町 訳、You-Feng Lin. (2011). 集合論(Set Theory: An Intuitive Approach): p77. ↩︎