📂集合論

命題関数の限量記号規則

定義 ¹

全体集合 $U$ の命題関数 $P(x)$ が与えられているとする。

1. Universal Quantifier: ‘すべての $x \in U$ に対して’として$\forall x$ と書き、全称記号と呼ぶ。
2. Existential Quantifier: ‘少なくとも一つの $x \in U$ が存在して’として$\exists x$ と書き、存在記号と呼ぶ。

説明

例えば、自然数の集合 $\mathbb{N}$ において論理式 $p(x)$ が ‘$x$ は $3$ の倍数だ’ とすると、上記の記号と合同式を使って以下のように簡略化した式で表せる：

• $\forall x \in \mathbb{N} ( x \equiv 0 \pmod{3} ) \iff$ ‘すべての自然数 $x$ は $3$ の倍数だ’
• $\exists x \in \mathbb{N} ( x \equiv 0 \pmod{3} ) \iff$ ‘自然数 $x$ で $3$ の倍数が存在する’

上は偽であり、下は真だ。見ての通り、記号は便利だが、われわれの言葉で表現するのは全く別物だ。原典で学んでも、自分が韓国語で話す時にどうすれば自然なのかを注意して練習しておくといい。

英語で学ぼう

数学科はもちろん、解析学が必要な専攻なら、極限の複雑な定義に驚いたことがあるだろう。 $$\lim_{n \to \infty} x_{n} = a \iff \forall \varepsilon > 0 , \exists N \in \mathbb{N} : n \ge N \implies | x_{n} - a | < \varepsilon$$ ここで $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ は

すべての正の $\varepsilon$ に対してある自然数 $N$ が存在して、その $N$ は $n \ge N$ が $| x_{n} - a | < \varepsilon$ を含意するように定義されている。

と説明したい人はいないだろう。確かに順番は合っているが、話す人も混乱し、聞く人も伝わりにくいため、正しくも間違っても「話」の資質が不足している。

同じ表現を英語ですると

For any positive $\varepsilon$, there exists a natural number $N$ such that $n \ge N$ implies $|x_{n} - a| < \varepsilon$

となる。最初からこの定義通りに読める理由は、そもそもこれらの表現が英語に合わせて考案されたからだ。科学の言語は数学だが、数学の本の言語は英語だ。

ポイントは、無理やり英語の翻訳に合わせて読もうとするよりも、本質的な概念を頭の中に入れて、私たちの言葉でも簡単に読めるように慣れることだ。

否定ルール

$$\lnot \forall x ( p(x) ) \iff \exists x (\lnot p(x) ) \\ \lnot \exists x ( p(x) ) \iff \forall x ( \lnot p(x) )$$

また、頭痛の種となる定理として上記の否定ルールがある。数学が通常そうであるように、早く慣れた方がいい。

ユニーク性

記号 $\exists !$ は通常、一意に存在することを意味する。