測度論で定義される確率変数の条件付き確率
定義
確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ が与えられているとする。
- $\mathcal{G}$ が $\mathcal{F}$ のサブシグマフィールドである場合、事象 $F \in \mathcal{F}$ に対して $$ P(F | \mathcal{G}) := E ( \mathbb{1}_{F} | \mathcal{G}) $$ を $\mathcal{G}$ についての $F$ の条件付き確率と呼ぶ。
- 次のように定義された $f_{Y | X =x}$ を $X=x$ の場合の $Y$ の条件付き密度と呼ぶ。 $$ f_{Y | X = x} (y | X = x) := {{\partial } \over {\partial y }} P( Y \le y | X = x) $$
- 測度論を触れたことがなければ、確率空間という言葉は無視してもいいが、測度論の知識が全くないと、このポストの内容を正しく理解することはほとんど不可能だ。
- $\mathcal{G}$ が $\mathcal{F}$ のサブシグマフィールドであることは、両者が $\Omega$ のシグマフィールドであり、$\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ であることを意味する。
説明
測度論が導入された条件付き確率は、条件付き期待値によって定義される。
一方、確率変数 $X$ によって生成される $\Omega$ の最も小さいシグマフィールド $\sigma (X) = \left\{ X^{-1} (B) : B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}$ について、次のような馴染み深い表現を使用する。 $$ E(Y|X) := E \left( Y | \sigma (X) \right) $$ そして、確率や期待値のカッコ内で、$Y \le y$ は次のような事象を意味する。 $$ (Y \le y) := \left\{ \omega \in B : Y(B) \le y , B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\} \in \mathcal{F} $$ これらの表記を使用して、条件付き確率 $\displaystyle f_{Y | X = x} (y | X = x) = {{ f(x,y) } \over { f_{X} (x) }}$ を導出してみよう。
導出
条件付き確率の期待値の条件により、$P(Y \le | X ) = E \left( \mathbb{1}_{(Y \le y)} | X \right) = E \left( \mathbb{1}_{(Y \le y)} | \sigma (X) \right)$ は当然 $\sigma (X)$-可測である。もちろん、$X$、$Y$ は結合密度 $f(x,y) := f_{(X,Y)} (x,y)$ を持つと仮定している。
全ての ボレル集合 $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ と $F = X^{-1}(B)$ に対して $$ \begin{align*} \int_{F} P(Y \le y | X ) dP =& \int_{F} E \left( \mathbb{1}_{(Y \le y)} | X \right) dP \\ =& \int_{F} \mathbb{1}_{(Y \le y)} dP \\ =& \int_{F} \mathbb{1}_{(Y \le y)} \mathbb{1}_{F} dP \\ =& E \left( \mathbb{1}_{(Y \le y)} \mathbb{1}_{F} \right) \\ =& \iint \mathbb{1}_{F} \mathbb{1}_{(Y \le y)} f(x,u) du dx \\ =& \int_{x \in F} \int_{-\infty}^{y} f(x,u) du dx \\ =& \int_{x \in F} \int_{-\infty}^{y} {{ f(x,u) } \over { f_{X} (x) }} f_{X} (x) du dx \\ =& \int_{x \in F} \int_{-\infty}^{y} {{ f(x,u) } \over { f_{X} (x) }} du f_{X} (x) dx \\ =& E \left( \int_{-\infty}^{y} {{ f(X,u) } \over { f_{X} (X) }} du \right) \\ =& \int_{F} \int_{-\infty}^{y} {{ f(X,u) } \over { f_{X} (X) }} du dP \end{align*} $$
ルベーグ積分の性質: $$ \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.} $$
まとめると、$\displaystyle \int_{F} P(Y \le y | X ) dP = \int_{F} \int_{-\infty}^{y} {{ f(X,u) } \over { f_{X} (X) }} du dP$ であるから、ほとんど確実に $$ P(Y \le y | X ) = \int_{-\infty}^{y} {{ f(X,u) } \over { f_{X} (X) }} du $$ である。最後に微積分学の基本定理に従って $$ \begin{align*} f_{Y|X=x} ( y | X=x ) =& {{ \partial } \over { \partial y }} P(Y \le y | X=x ) \\ =& {{ f(x,y) } \over { f_{X} (x) }} \text{ a.s.} \end{align*} $$
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