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ジョルダン分解定理 📂測度論

ジョルダン分解定理

定理

可測空間 (X,E)(X,\mathcal{E})とそれに定義された符号付き測度 ν\nuが与えられたとしよう。すると、以下の条件を満たす二つの正の測度 ν+\nu^{+}、ν−\nu^{-}が唯一存在し、ν=ν+−ν−\nu=\nu^{+}-\nu^{-}をν\nuのジョルダン分解Jodan decompositionと呼ぶ。

ν=ν+−ν− \nu=\nu^{+}-\nu^{-}

ν+⊥ν− \nu^{+} \perp \nu^{-}

ここで、X=P∪NX=P \cup Nを分解と呼ぶと、ν+,ν−\nu^{+}, \nu^{-}は以下の通りである。

ν+(E)=ν(E∩P)ν−(E)=−ν(E∩N) \begin{align*} \nu^{+} (E) &= \nu ( E \cap P) \\ \nu^{-}(E) &= -\nu (E \cap N) \end{align*}

証明

  • パート1. 存在性

    可測空間 (X,E)(X,\mathcal{E})とそれに定義された符号付き測度 ν\nuが与えられたとする。すると、分解の定理によって、ν\nuに対してX=P∪NX=P \cup N、P∩N=∅P\cap N=\varnothingを満たす正集合 PPと負集合 NNが存在する。以下のように正の測度 ν+\nu^{+}、ν−\nu^{-}を定義しよう。

    ν+(E):=ν(E∩P)ν−(E):=−ν(E∩N)∀ E∈E \begin{align*} \nu^{+} (E) &:= \nu (E \cap P) \\ \nu^{-}(E) &:= -\nu (E\cap N) \end{align*} \quad \forall\ E\in\mathcal{E}

    すると、P∪N=XP\cup N=Xであるため、以下が自明に成立する。

    ν(E)=ν(E∩P)+ν(E∩N)=ν+(E)−ν−(E) \nu (E)=\nu (E\cap P)+\nu (E \cap N)=\nu^{+} (E) -\nu^{-} (E)

    また、E1⊂PE_{1} \subset P、E2⊂NE_2 \subset Nとすると、全てのE1E_{1}はν−\nu^{-}に対して零集合であり、全てのE2E_2はν+\nu^{+}に対して零集合である。したがって、PPはν−−null\nu^{-} -\mathrm{null}であり、NNはν+−null\nu^{+} -\mathrm{null}である。従って、ν+⊥ν−\nu^{+} \perp \nu^{-}である。

  • パート2. 一意性

    μ+\mu^+、μ−\mu^-を上記内容を満たすν+\nu^{+}、ν−\nu^{-}とは異なる二つの正の測度とする。

    ν=μ+−μ− \nu=\mu^+ - \mu^-

    そして、E, F∈EE,\ F \in \mathcal{E}がμ+⊥μ−\mu^+\perp \mu^-を満たす二つの集合を仮定する。

    μ(E∩N)=μ−(E)=0=μ+(F)=μ(F∩P) \mu (E\cap N)=\mu^-(E)=0=\mu^+(F)=\mu (F\cap P)

    E∪F=XandE∩F=∅ E \cup F=X \quad \text{and} \quad E\cap F = \varnothing 上記二条件により、X=E∪FX=E\cup Fは別の分解であることが分かる。ここで、EEが正集合、NNが負集合である。そうすると、分解の定理により、(P−E)∪(E−P) (P-E)\cup (E-P)はν\nuに対する零集合である。従って、任意のA∈EA \in \mathcal{E}に対して、以下が成立する。

    μ+(A)=μ+(A∩E)=ν(A∩E)=ν(A∩P)=ν+(A) \mu^+(A)=\mu^+ (A\cap E)=\nu (A\cap E)=\nu (A \cap P)=\nu^{+}(A)

    同様に、以下の式が成立する。

    μ−(A)=μ−(A∩F)=ν(A∩F)=ν(A∩N)=ν−(A) \mu^-(A)=\mu^- (A\cap F)=\nu (A\cap F)=\nu (A \cap N)=\nu^{-}(A)

    従って、ジョルダン分解定理を満たす二つの正の測度は一意である。

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