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相互に特異的 📂測度論

相互に特異的

定義1

二つの符号測度ν\nuμ\muが与えられたとする。以下の三つの条件をν\nuμ\muに対して満たすE,F EE,F\ \in \mathcal{E}が存在する場合、二つの符号測度ν\nuμ\mumutually singularと言われ、νμ\nu \perp \muまたはμν\mu \perp \nuと表示される。

  • EF=XE \cup F=X
  • EF=E \cap F=\varnothing
  • EEν\nuに対する零集合であり、FFμ\muに対する零集合である。

また、「ν\nuμ\muに対してsingularである」、「μ\muν\nuに対してsingularである」という表現も全て同じ意味である。

説明

μn\mu_{n}Rn\mathbb{R}^nルベーグ測度としよう。そして、以下のように定義されたディラック測度とするδx0\delta_{x_{0}}

δx0(E):={1x0E0x0E \delta_{x_{0}} (E) := \begin{cases} 1 & x_{0} \in E \\ 0 & x_{0} \notin E \end{cases}

E={x0}E=\left\{ x_{0} \right\}F=RnEF=\mathbb{R}^n-Eとする。するとEF=RnE\cup F=\mathbb{R}^nでありEF=E \cap F=\varnothingである。さらに、FFδx0null\delta_{x_{0}}-\mathrm{null}であり、EEμnnull\mu_{n} -\mathrm{null}であるため、ルベーグ測度とディラック測度は互いにsingularである。

δx0μn \delta_{x_{0}} \perp \mu_{n}


  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p87 ↩︎