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ラドン-ニコディム微分 📂測度論

ラドン-ニコディム微分

定理 1

可測空間 (Ω,F)( \Omega , \mathcal{F} ) が与えられているとしよう。測度 μ\mu、ν\nuがμ(Ω)=1\mu ( \Omega ) = 1および全てのF∈FF \in \mathcal{F}に対して0≤ν(F)≤μ(F)0 \le \nu (F) \le \mu (F)を満たす場合、全てのF∈FF \in \mathcal{F}に対して ν(F)=∫Fhdμ \nu (F) = \int_{F} h d \mu を満たしつつh≥0h \ge 0であるF\mathcal{F}-可測関数h:Ω→Rh : \Omega \to \mathbb{R}が存在する。このhhをh:=dνdμ\displaystyle h := {{d \nu } \over {d \mu }}として表し、μ\muに対するν\nuのラドン-ニコディム微分という。

  • ある関数 ffが**F\mathcal{F}-可測関数**であるとは、全てのボレル集合 B∈B(Ω)B \in \mathcal{B} ( \Omega )に対してf−1(B)∈Ff^{-1} (B) \in \mathcal{F}であることを意味する。

説明

定理の前提条件μ(Ω)=1\mu ( \Omega ) = 1により、Ω\Omegaは確率空間 (Ω,F,μ)( \Omega , \mathcal{F} , \mu )になり得る。

ラドン-ニコディム微分の命名は非常に直感的だと言える。正確な論証は一旦置いておくとして、そのままの意味で扱うと次のように展開できる。基礎解析学の微分とは異なり、形式に概念を合わせたものである。 ∫Fhdμ=∫Fdνdμdμ=∫Fdν=ν(F) \begin{align*} \int_{F} h d \mu =& \int_{F} {{d \nu } \over {d \mu }} d \mu \\ =& \int_{F} d \nu \\ =& \nu ( F) \end{align*}

ラドン-ニコディム定理は、このようなラドン-ニコディム微分が唯一に存在することを、いくつかの条件が与えられた時に保証する。

証明

Part 1. hP=νμ\displaystyle h_{\mathcal{P}} = {{\nu} \over {\mu}}

分割P:={A1,⋯ ,Ak} \mathcal{P} := \left\{ A_{1} , \cdots , A_{k} \right\}およびω∈Ai\omega \in A_{i}に対して、hP:Ω→Rh_{\mathcal{P}} : \Omega \to \mathbb{R}を次のように定義しよう。 hP(ω)={ν(Ai)μ(Ai),μ(Ai)>00,otherwise h_{\mathcal{P}} ( \omega ) = \begin{cases} \displaystyle {{\nu (A_{i} ) } \over {\mu (A_{i} ) }} &, \mu ( A_{i} ) > 0 \\ 0 &, \text{otherwise} \end{cases} AiA_{i}が決まった場合、定義により、ω∈Ai\omega \in A_{i}がどのようになってもAiA_{i}では定数関数hP(ω)=cih_{\mathcal{P}} ( \omega ) = c_{i}として扱える。これにより、 ∫AihPdμ=∫Aiν(Ai)μ(Ai)dμ=ν(Ai)1μ(Ai)∫Aidμ=ν(Ai)1μ(Ai)μ(Ai)=ν(Ai) \begin{align*} \int_{A_{i}} h_{\mathcal{P}} d \mu =& \int_{A_{i}} {{\nu (A_{i} ) } \over {\mu (A_{i} ) }} d \mu \\ =& \nu (A_{i} ) {{1 } \over {\mu (A_{i} ) }} \int_{A_{i}} d \mu \\ =& \nu (A_{i} ) {{1 } \over {\mu (A_{i} ) }} \mu ( A_{i} ) \\ =& \nu (A_{i} ) \end{align*} が計算される。次のような補助定理を証明しよう。

  • Part 1-1.
    Ω\Omegaの全てのP\mathcal{P}および全てのω∈Ω\omega \in \Omegaに対し、0≤hP≤10 \le h_{\mathcal{P}} \le 1全てのF∈FF \in \mathcal{F}に対して0≤ν(F)≤μ(F)0 \le \nu (F) \le \mu (F)を満たすので、 0≤hP=ν(F)μ(F)≤1\displaystyle 0 \le h_{\mathcal{P}} = {{\nu (F)} \over {\mu (F)}} \le 1
  • Part 1-2.
    A=⨆j∈JAj  ⟹  ν(A)=∫AhPdμA = \bigsqcup_{j \in J} A_{j} \implies \nu (A) = \int_{A} h_{\mathcal{P}} d \mu ⨆\bigsqcupは分離合併集合で、J⊂{1,⋯ ,k}J \subset \left\{ 1 , \cdots, k \right\}はインデックスの集合である。測度の性質により、 ν(A)=∑j∈Jν(Aj)=∑j∈J∫AjhPdμ=∫AhPdμ \begin{align*} \nu (A) =& \sum_{j \in J} \nu ( A_{j} ) \\ =& \sum_{j \in J} \int_{A_{j}} h_{\mathcal{P}} d \mu \\ =& \int_{A} h_{\mathcal{P}} d \mu \end{align*} 一方で、σ-フィールドの定義よりΩ∈F\Omega \in \mathcal{F}なので、自然とν(Ω)=∫ΩhPdμ\displaystyle \nu ( \Omega ) = \int_{ \Omega } h_{\mathcal{P}} d \muが成立する。
  • Part 1-3.
    • Part 1-3-1. 全てのA∈P1A \in \mathcal{P}_{1}に対して∫Ah1dμ=∫Ah2dμ\displaystyle \int_{A} h_{1} d \mu = \int_{A} h_{2} d \muである。
      P2\mathcal{P}_{2}をP1\mathcal{P}_{1}の細分とし、便宜上hn:=hPnh_{n} := h_{\mathcal{P}_{n}}と表すことにする。細分の定義により、全てのA∈P1A \in \mathcal{P}_{1}に対してA=⨆j∈JBj\displaystyle A = \bigsqcup_{j \in J} B_{j}を満たすBj∈P2B_{j} \in \mathcal{P}_{2}が存在する。したがって、 ∫Ah1dμ=ν(A)=∑j∈Jν(Bj)=∑j∈J∫Bjh2dμ=∫Ah2dμ \begin{align*} \int_{A} h_{1} d \mu =& \nu (A) \\ =& \sum_{j \in J} \nu ( B_{j} ) \\ =& \sum_{j \in J} \int_{B_{j}} h_{2} d \mu \\ =& \int_{A} h_{2} d \mu \end{align*}
    • Part 1-3-2. 全てのA∈P1A \in \mathcal{P}_{1}に対して∫Ah1h2dμ=∫Ah12dμ\displaystyle \int_{A} h_{1} h_{2} d \mu = \int_{A} h_{1}^{2} d \muである。 ∫Ah1h2dμ=ν(A)μ(A)∫Ah2dμ=ν(A)μ(A)ν(A)=∫A[ν(A)μ(A)]2dμ=∫Ah12dμ\begin{align*} \int_{A} h_{1} h_{2} d \mu =& {{\nu (A ) } \over {\mu (A ) }} \int_{A} h_{2} d \mu \\ =& {{\nu (A ) } \over {\mu (A ) }} \nu (A ) \\ =& \int_{A} \left[ {{\nu (A ) } \over {\mu (A ) }} \right]^2 d \mu \\ =& \int_{A} h_{1}^{2} d \mu \end{align*}
  • Part 1-4.
    • Part 1-4-1. ∫A(h2−h1)2dμ=∫A[h22−h12]dμ\displaystyle \int_{A} ( h_{2} - h_{1} )^2 d \mu = \int_{A} \left[ h_{2}^{2} - h_{1}^{2} \right] d \mu
      Part 1-3-2により、全てのA∈P1A \in \mathcal{P}_{1}に対して∫Ah1(h2−h1)dμ=0\displaystyle \int_{A} h_{1} ( h_{2} - h_{1} ) d \mu = 0が成り立ち、Part 1-2により、∫Ωh1(h2−h1)dμ=0\displaystyle \int_{ \Omega } h_{1} ( h_{2} - h_{1} ) d \mu = 0も同様に成り立つ。それならば、 ∫A(h2−h1)2dμ=∫A(h22−2h2h1+h12)dμ=∫A[h22−2h1(h2−h1)−h12]dμ=∫A[h22−h12]dμ \begin{align*} \int_{A} ( h_{2} - h_{1} )^2 d \mu =& \int_{A} \left( h_{2}^{2} - 2 h_{2} h_{1} + h_{1}^{2} \right) d \mu \\ =& \int_{A} \left[ h_{2}^{2} - 2 h_{1} (h_{2} - h_{1}) - h_{1}^{2} \right] d \mu \\ =& \int_{A} \left[ h_{2}^{2} - h_{1}^{2} \right] d \mu \end{align*}
    • Part 1-4-2. ∫Ωh12dμ≤∫Ωh22dμ\displaystyle \int_{\Omega} h_{1}^{2} d \mu \le \int_{\Omega} h_{2}^{2} d \mu
      ∫Ωh22dμ=∫Ωh12dμ+∫Ω(h2−h1)2dμ≥∫Ωh12dμ\begin{align*} \int_{\Omega} h_{2}^{2} d \mu =& \int_{\Omega} h_{1}^{2} d \mu + \int_{\Omega} (h_{2} - h_{1})^{2} d \mu \\ \ge& \int_{\Omega} h_{1}^{2} d \mu \end{align*}

Part 2. h:=lim⁡n→∞hQn\displaystyle h := \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}}

Part 1-4-2で、P\mathcal{P}の細分P′\mathcal{P} ' について∫ΩhP2dμ≤∫ΩhP′2dμ\displaystyle \int_{\Omega} h_{\mathcal{P}}^{2} d \mu \le \int_{\Omega} h_{\mathcal{P} ' }^{2} d \muが成り立つことが確認された。また、Part 1-1で0≤hP≤10 \le h_{\mathcal{P}} \le 1であり、仮定ではμ(Ω)=1\mu ( \Omega ) = 1だったので、c:=sup⁡∫ΩhP2dμc := \sup \int_{\Omega} h_{\mathcal{P}}^{2} d \muは00と11の間に存在する。[ NOTE: 実際にはμ(Ω)≠1\mu ( \Omega ) \ne 1でも、μ′:=μ/μ(Ω)\mu ' := \mu / \mu ( \Omega)のように置き換えてもいい。] 与えられたn∈Nn \in \mathbb{N}に対して、∫ΩhPn2dμ>c−14n\displaystyle \int_{\Omega} h_{\mathcal{P}_{n}}^{2} d \mu > c - {{1} \over {4^{n}}}を満たす細分Pn\mathcal{P}_{n}および{Pi}i=1n\left\{ \mathcal{P}_{i} \right\}_{i=1}^{n}の両方になる細分Qn\mathcal{Q}_{n}を考える。それならば、当然Qn+1\mathcal{Q}_{n+1}はQn\mathcal{Q}_{n}の細分であり、次の不等式を満たす。 c−14n≤∫ΩhPn2dμ≤∫ΩhQn2dμ≤∫ΩhQn+12dμ≤c c - {{1} \over {4^{n}}} \le \int_{\Omega} h_{\mathcal{P}_{n}}^{2} d \mu \le \int_{\Omega} h_{\mathcal{Q}_{n}}^{2} d \mu \le \int_{\Omega} h_{\mathcal{Q}_{n+1}}^{2} d \mu \le c Part 1-4-1により、二乗2^2が括弧の中に入るので、 ∫Ω(hQn+1−hQn)2dμ=∫Ω(hQn+12−hQn2)dμ<14n \int_{\Omega} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right)^{2} d \mu = \int_{\Omega} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}}^{2} - h_{\mathcal{Q}_{n}}^{2} \right) d \mu < {{1} \over {4^{n}}}

コーシー・シュワルツの不等式: f,g∈L2(E)f,g \in \mathcal{L}^{2} (E)の場合、fg∈L1(E)fg \in L^{1}(E)であり、 ∥∫Efg‾dm∥≤∥fg∥1≤∥f∥2∥g∥2 \left\| \int_{E} f \overline{g} dm \right\| \le \left\| f g \right\|_{1} \le \left\| f \right\|_{2} \left\| g \right\|_{2}

コーシー・シュワルツの不等式で、f=∣hQn+1−hQn∣f = | h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} |、g=1g = 1とすると、全てのn∈Nn \in \mathbb{N}に対して、 ∫Ω∣hQn+1−hQn∣dμ≤∫Ω(hQn+1−hQn)2dμ∫Ω1dμ=∫Ω(hQn+12−hQn2)dμμ(Ω)<12n⋅1 \begin{align*} \int_{\Omega} \left| h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right| d \mu \le & \sqrt{ \int_{\Omega} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right)^{2} d \mu } \sqrt{ \int_{\Omega} 1 d \mu } \\ =& \sqrt{\int_{\Omega} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}}^{2} - h_{\mathcal{Q}_{n}}^{2} \right) d \mu} \sqrt{ \mu ( \Omega ) } \\ <& {{1} \over {2^{n}}} \cdot 1 \end{align*}

レヴィの定理: ∑k=1∞∫∣fk∣dm<∞\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \int |f_{k}| dm < \inftyならば、∑k=1∞fk(x)\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} (x)はほぼ至る所で収束し、 ∫∑k=1∞fkdm=∑k=1∞∫fkdm \int \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} dm = \sum_{k=1}^{\infty} \int f_{k} dm

∑n∈N∫Ω∣hQn+1−hQn∣dμ<∞\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} \int_{\Omega} \left| h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right| d \mu < \inftyであるため、レヴィの定理により、 ∑n∈N(hQn+1−hQn)=lim⁡n→∞hQn−hQ1 \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}} - h_{\mathcal{Q}_{1}} はμ\muに対してほぼ至る所で収束する。今、hhを次のように定義しよう。 h:=hQ1+∑n∈N(hQn+1−hQn)=lim⁡n→∞hQn h := h_{\mathcal{Q}_{1}} + \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}}

Part 3. ν(F)=∫Fhdμ\displaystyle \nu (F) = \int_{F} h d \mu

hhの定義により、0≤h≤10 \le h \le 1はF\mathcal{F}-メジャラブルである。今、全てのF∈FF \in \mathcal{F}に対してν(F)=∫Fhdμ\displaystyle \nu (F) = \int_{F} h d \mu であることを示せば良い。F∈FF \in \mathcal{F}を一つ固定し、Rn\mathcal{R}_{n}をQn\mathcal{Q}_{n}と{F,Fc}\left\{ F , F^{c} \right\}の共通の細分パーティションとして定義する。すると、Part 1-2で示されたA=⨆j∈JAj  ⟹  ν(A)=∫AhPdμ\displaystyle A = \bigsqcup_{j \in J} A_{j} \implies \nu (A) = \int_{A} h_{\mathcal{P}} d \muにより、全てのn∈Nn \in \mathbb{N}に対して、 ν(F)=∫FhRndμ=∫F(hRn−hQn)dμ+∫FhQndμ \begin{align*} \nu (F) =& \int_{F} h_{ \mathcal{R}_{n} } d \mu \\ =& \int_{F} ( h_{ \mathcal{R}_{n} } - h_{ \mathcal{Q}_{n} } )d \mu + \int_{F} h_{ \mathcal{Q}_{n} } d \mu \end{align*} が成り立つ。一方で、Rn\mathcal{R}_{n}に対してPart 2と同様にコーシー・シュワルツの不等式を使用すると、∣∫ΩhRn−hQndμ∣<12n\displaystyle \left| \int_{\Omega} h_{\mathcal{R}_{n}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} d \mu \right| < {{1} \over {2^{n}}}を得ることができるので、 ν(F)=0+lim⁡n→∞∫FhQndμ \nu (F) =0 + \lim_{n \to \infty} \int_{F} h_{ \mathcal{Q}_{n} } d \mu

支配収束定理: 可測集合E∈ME \in \mathcal{M}およびg∈L1(E)g \in \mathcal{L}^{1} (E)に対して、可測関数列{fn}\left\{ f_{n} \right\}がEEのほぼ至る所で∣fn∣≤g|f_{n}| \le gを満たすとする。もしEEのほぼ至る所でf=lim⁡n→∞fn\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_{n}が成立するならば、f∈L1(E)f \in \mathcal{L}^{1}(E)そして、 lim⁡n→∞∫Efn(x)dm=∫Efdm \lim_{ n \to \infty} \int_{E} f_{n} (x) dm = \int_{E} f dm

全てのn∈Nn \in \mathbb{N}に対して0≤hQn≤10 \le h_{\mathcal{Q}_{n}} \le 1であり、Part 2でhhがh:=lim⁡n→∞hQn\displaystyle h := \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}}として定義されたので、支配収束定理により、 ν(F)=lim⁡n→∞∫FhQndμ=∫Fhdμ \begin{align*} \nu (F) =& \lim_{n \to \infty} \int_{F} h_{ \mathcal{Q}_{n} } d \mu \\ =& \int_{F} h d \mu \end{align*}

■

一方で、上記の証明のPart 1~2から次のような推論を得る。

推論

全てのn∈Nn \in \mathbb{N}に対して、Qn+1\mathcal{Q}_{n+1}がQn\mathcal{Q}_{n}の細分であれば、 lim⁡n→∞hQn=lim⁡n→∞νμ=dνdμ \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}} = \lim_{n \to \infty} {{\nu} \over {\mu}} = {{d \nu } \over {d \mu }}

  1. Folland. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications(2nd Edition): p91. ↩︎