📂集合論

逆対偶命題と逆命題

定義 ¹

全ての論理的可能性に対して真である命題を恒真命題^tautologyという。全ての論理的可能性に対して偽である命題を矛盾命題^{contradiction}という。

1. $p$, $q$ に対して条件文 $p \to q$ が恒真命題なら 含意命題^implicationといい、次のように表される。 $$ p \implies q $$
2. $p$, $q$ に対して二重条件文 $p \to q$ が恒真命題なら 同値^equivalenceといい、次のように表される。 $$ p \iff q $$

説明

実際、矛盾命題という言葉はほとんど使われず、代わりに矛盾という言葉がよく使用される。記号では、恒真Tautologyと矛盾Contradictionの先頭の文字を取って恒真 $t$、矛盾 $c$ と表される。

上の真理表によると$p$が真であっても偽であっても$p \lor \lnot p$は真である。命題の定義を考えると$p$が真か偽かで真ということは、当然のことである。恒真命題とは、このように「事実」と関係なく、その形式だけで見ても真であるしかない命題をいう。

数学に興味がない人は数学が複雑で難しいと思うかもしれないが、数学を学べば学ぶほど気づくことは、数学者たちは「考えること」を避けるために必死にもがいているということである。人類にはあまりにも多くの「言葉」の組み合わせがあり、それを一つ一つ検討しながら正しいかどうかを判断するのは気が遠くなる。だから、少なくとも「形式だけで判断できるもの」については、その程度の努力だけで判断したいというのが本音である。

含意とは意味^意を含む^含という意味であるので、Implyの簡略としてピッタリだが、実際には韓国語話者がImplyを含意と解釈することは非常に稀である。

法則 ¹

任意の命題 $p$, $q$, $r$ に対して、以下が成り立つ。

• [1] 加法法則: $$ p \implies p \lor q $$
• [2] 単純化法則: $$ p \land q \implies p \\ p \land q \implies q $$
• [3] 吸収法則: $$ p \land ( p \lor q) \iff p \\ p \lor ( p \land q ) \iff p $$
• [4] 二重否定法則: $$ \lnot ( \lnot p) \iff p $$
• [5] 交換法則: $$ p \land q \iff q \land p \\ p \lor q \iff q \lor p $$
• [6] 冪等法則: $$ p \land p \iff p \\ p \lor p \iff p $$
• [7] 結合法則: $$ (p \land q) \land r \iff p \land (q \land r) \\ (p \lor q) \lor r \iff p \lor (q \lor r) $$
• [8] 分配法則: $$ p \land (q \lor r) \iff (p \land q) \lor (p \land r) \\ p \lor (q \land r) \iff (p \lor q) \land (p \lor r) $$

これらの法則は論理的に考える人間には自然なものであり、理工系の人なら特に以下の法則も自由自在に使えるべきである。専攻が形式科学―コンピュータ科学、統計学、数学に近いほど、早く慣れることが望ましい。

• [9] ド・モルガンの法則: $$ \lnot (p \land q) \iff \lnot p \lor \lnot q \\ \lnot(p \lor q) \iff \lnot p \land \lnot q $$
• [10] 対偶法: $$ (p \to q) \iff (\lnot q \to \lnot p) $$
• [11] 背理法: $$ (p \land \lnot q) \to c \iff p \to q $$
• [12] 三段論法: $$ (p \to q) \land (q \to r) \implies (p \to r) $$

英文表記

このポストで紹介された定理の英文表記は以下の通りである:

• [1] 加法法則Law of Addition
• [2] 単純化法則Laws of Simplification
• [3] 吸収法則Laws of Absorption
• [4] 二重否定法則Law of Double Negation
• [5] 交換法則Laws of Commutativity
• [6] 冪等法則Laws of Idempotency
• [7] 結合法則Laws of Associativity
• [8] 分配法則Laws of Distributivity
• [9] ド・モルガンの法則De Morgan’s Laws
• [10] 対偶法Contrapositive Law
• [11] 背理法Reductio ad Absurdum
• [12] 三段論法Syllogism

特に[11] 背理法は、馬鹿法とも呼ばれ、[12] 三段論法は推移法則^{law of Transitivity}とも言われる。