局所有限カバー

定義¹

日本語

集合$S \subset \mathbb{R}^n$のオープンカバー$\mathcal{O}$があるとする。$\mathbb{R}^n$の任意のコンパクト集合がオープンカバー$\mathcal{O}$の要素とせいぜい有限にしか交差しない場合、オープンカバー$\mathcal{O}$を局所的に有限^{locally finite}という。

説明

無限カバーでも、局所的には有限になることがある。定義によれば、局所的に有限なカバーはせいぜい可算集合であり、有限集合は当然局所的に有限である。さらに、$S$が閉じている場合、一様有界な$S$のどんなオープンカバーも局所的に有限な部分カバーを持つ。