📂確率論

測度論で定義される期待値

定義 ¹

確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ が与えられているとする。確率変数 $X$ に対して次のように定義される $E(X)$ を**$X$ の（数理的）期待値**という。 $$E(X) := \int_{\Omega} X d P$$

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• 測度論にまだ触れていなければ、確率空間という言葉は無視しても良い。

説明

期待値の定義は、測度論が使われていると言っても、簡潔に書かれた式だけでは理解しにくいのは事実だ。これに対して、以下の二つの定理を用いると、我々が馴染みのある形に変換することができる。

• [1] 与えられた確率変数 $X : \Omega \to \mathbb{R}$ に対して $$\int_{\Omega} g( X ( \omega )) d P (\omega ) = \int_{\mathbb{R}} g(x) d P_{X} (x)$$
• [2] 密度 $f_{X} , g : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ が $\mathbb{R}^{n}$ で定義された絶対連続な $P_{X}$ に対して積分可能であれば $$\int_{\mathbb{R}^{n}} g(x) d P_{X} (x) = \int_{\mathbb{R}^{n}} f_{X} (x) g(x) dx$$

そうすると$g(X)$ の期待値は、[2]で $n=1$ とすると $$\begin{align*} E(g(X)) =& \int_{\Omega} g(X) d P \\ =& \int_{\Omega} g( X ( \omega )) d P (\omega ) \\ =& \int_{\mathbb{R}^{1}} g(x) d P_{X} (x) \\ =& \int_{\mathbb{R}} g(x) f_{X} (x) dx \end{align*}$$ これは測度論を導入しても $\displaystyle E(g(X)) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_{X} (x) dx$をただの定義として受け入れるのではなく、導出可能であるという意味になる。特に[1]で $g(x) = x$ であれば、上で紹介した期待値と同じになる。

参照

• 数理統計学で定義された期待値