logo

ゲージ変換 📂電磁気学

ゲージ変換

概要1

あるスカラーポテンシャル VVとベクトルポテンシャル A\mathbf{A}は、電場E\mathbf{E}と磁場B\mathbf{B}を一意に決定するが、逆は成り立たない。つまり、一つの電磁場E\mathbf{E}、B\mathbf{B}を表現するポテンシャルVV、A\mathbf{A}は複数存在するということだ。したがってE\mathbf{E}とB\mathbf{B}が変わらない範囲内であれば、VVとA\mathbf{A}をどれだけ変えても構わない。

ゲージ変換

同じ電場、磁場を生じさせる二つのペアのポテンシャル(VV, A\mathbf{A})、(V′V^{\prime}, A′\mathbf{A}^{\prime})が存在する。このときA′=A+α \mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A} + \mathbf{\alpha}、V′=V+βV^{\prime}=V+\betaとする。二つのベクトルポテンシャルA\mathbf{A}、A′\mathbf{A}^{\prime}が同じ磁場B\mathbf{B}を作り出すので

B=∇×A=∇×A′ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} =\nabla \times \mathbf{A}^{\prime}

A′=A+α\mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A} + \mathbf{\alpha}を利用すると以下のようになる。

∇×A′=∇×(A+α)=∇×A+∇×α =∇×A \nabla \times \mathbf{A}^{\prime} = \nabla \times (\mathbf{A}+\mathbf{\alpha}) = \nabla\times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{\alpha}  = \nabla \times \mathbf{A}

  ⟹  ∇×α=0 \implies \nabla \times \mathbf{\alpha}=0

α\mathbf{\alpha}の回転が00であり、したがってα\alphaはあるスカラー関数λ\lambdaの勾配で表すことができる。

α=∇λ \mathbf{\alpha}=\nabla \lambda

二つのスカラーポテンシャルVV、V′V^{\prime}についても同様に計算できる。二つのペアのポテンシャル(VV, A\mathbf{A})、(V′V^{\prime}, A′\mathbf{A}^{\prime})が同じ電場E\mathbf{E}を生じさせるので

E′=−∇V–∂A∂t=−∇V′−∂A′∂t=−∇(V+β)−∂A∂t+∂α∂t=−∇V–∂A∂t−∇β–∂α∂t \begin{align*} \mathbf{E}^{\prime} &= -\nabla V – \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \\ &= -\nabla V^{\prime} -\frac{\partial \mathbf{A}^{\prime}}{\partial t} \\ &= -\nabla(V+\beta)-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} +\frac{\partial \mathbf{\alpha}}{\partial t} \\ &= -\nabla V – \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} -\nabla \beta –\frac{\partial \mathbf{\alpha}}{\partial t} \end{align*}

従って−∇β–∂α∂t=0-\nabla \beta –\dfrac{\partial \mathbf{\alpha}}{\partial t}= 0であり、α=∇λ\mathbf{\alpha}=\nabla \lambdaなので

∇(β+∂λ∂t)=0 \nabla \left( \beta + \frac{\partial \lambda}{\partial t} \right)=0

∇\nablaは位置に対する微分であり、結果が00であるため、括弧内の量は位置に依存しない。したがって、これを時間に対する関数k(t)k(t)とすると、β=−∂λ∂t+k(t)\beta = -\dfrac{\partial \lambda}{\partial t}+k(t)となる。ここで式に変形を加えると新しいΛ\Lambdaに関する式として表示することができる −∂λ∂t+k(t)=−∂∂t[λ−∫0tk(t′)dt′]=−∂Λ∂t -\frac{\partial \lambda}{\partial t}+k(t)=-\frac{\partial}{\partial t} \left[ \lambda - \int_{0}^t{k(t^{\prime})}dt^{\prime} \right]=-\frac{\partial \Lambda}{\partial t} 二番目の等式では微分積分学の基本定理が使われた。λ\lambdaとΛ\Lambdaの勾配が同じであるため、このように表すことができる。

∇Λ=∇{λ−∫0tk(t′)dt′}=∇λ−∇∫0tk(t′)dt′=∇λ=α \nabla \Lambda = \nabla \left\{ \lambda -\int_{0}^t{k(t^{\prime})}dt^{\prime} \right\} =\nabla \lambda - \nabla \int_{0}^t{k(t^{\prime})}dt^{\prime} =\nabla \lambda = \mathbf{\alpha}

最終的に整理すると次のようになる。

A′=A+∇ΛV′=V−∂Λ∂t \mathbf{A}^{\prime} =\mathbf{A} +\nabla \Lambda \\ V^{\prime}=V-\frac{\partial \Lambda}{\partial t}

上の式が持つ意味は次の通りだ。

電場E\mathbf{E}、磁場B\mathbf{B}を生じさせる一つのペアのポテンシャル(VV, A\mathbf{A})が存在する。このとき、あるスカラー関数Λ\Lambdaに対して∇Λ\nabla \LambdaをA\mathbf{A}に足して∂Λ∂t\dfrac{\partial \Lambda}{\partial t}をVVから引くことにより作られた新しいポテンシャル(V′,A′)=(V−∂Λ∂t, A+∇Λ)(V^{\prime}, \mathbf{A}^{\prime}) = (V-\dfrac{\partial \Lambda}{\partial t},\ \mathbf{A}+\nabla \Lambda)も、同じ電場E\mathbf{E}、磁場B\mathbf{B}を生じさせる。つまり、条件をうまく合わせることによりポテンシャルを変更しても電磁場は変わらない。このようにポテンシャルを変えることをゲージ変換と呼ぶ。変換を利用して複雑な式を計算しやすく変えることができる。

関連項目を見る

  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition1 2014), p474-475 ↩︎