ゲージ変換

概要¹

あるスカラーポテンシャル $V$とベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$は、電場$\mathbf{E}$と磁場$\mathbf{B}$を一意に決定するが、逆は成り立たない。つまり、一つの電磁場$\mathbf{E}$、$\mathbf{B}$を表現するポテンシャル$V$、$\mathbf{A}$は複数存在するということだ。したがって$\mathbf{E}$と$\mathbf{B}$が変わらない範囲内であれば、$V$と$\mathbf{A}$をどれだけ変えても構わない。

ゲージ変換

同じ電場、磁場を生じさせる二つのペアのポテンシャル($V$, $\mathbf{A}$)、($V^{\prime}$, $\mathbf{A}^{\prime}$)が存在する。このとき$ \mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A} + \mathbf{\alpha}$、$V^{\prime}=V+\beta$とする。二つのベクトルポテンシャル$\mathbf{A}$、$\mathbf{A}^{\prime}$が同じ磁場$\mathbf{B}$を作り出すので

$$ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} =\nabla \times \mathbf{A}^{\prime} $$

$\mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A} + \mathbf{\alpha}$を利用すると以下のようになる。

$$ \nabla \times \mathbf{A}^{\prime} = \nabla \times (\mathbf{A}+\mathbf{\alpha}) = \nabla\times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{\alpha} = \nabla \times \mathbf{A} $$

$$ \implies \nabla \times \mathbf{\alpha}=0 $$

$\mathbf{\alpha}$の回転が$0$であり、したがって$\alpha$はあるスカラー関数$\lambda$の勾配で表すことができる。

$$ \mathbf{\alpha}=\nabla \lambda $$

二つのスカラーポテンシャル$V$、$V^{\prime}$についても同様に計算できる。二つのペアのポテンシャル($V$, $\mathbf{A}$)、($V^{\prime}$, $\mathbf{A}^{\prime}$)が同じ電場$\mathbf{E}$を生じさせるので

$$ \begin{align*} \mathbf{E}^{\prime} &= -\nabla V – \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \\ &= -\nabla V^{\prime} -\frac{\partial \mathbf{A}^{\prime}}{\partial t} \\ &= -\nabla(V+\beta)-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} +\frac{\partial \mathbf{\alpha}}{\partial t} \\ &= -\nabla V – \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} -\nabla \beta –\frac{\partial \mathbf{\alpha}}{\partial t} \end{align*} $$

従って$-\nabla \beta –\dfrac{\partial \mathbf{\alpha}}{\partial t}= 0$であり、$\mathbf{\alpha}=\nabla \lambda$なので

$$ \nabla \left( \beta + \frac{\partial \lambda}{\partial t} \right)=0 $$

$\nabla$は位置に対する微分であり、結果が$0$であるため、括弧内の量は位置に依存しない。したがって、これを時間に対する関数$k(t)$とすると、$\beta = -\dfrac{\partial \lambda}{\partial t}+k(t)$となる。ここで式に変形を加えると新しい$\Lambda$に関する式として表示することができる $$ -\frac{\partial \lambda}{\partial t}+k(t)=-\frac{\partial}{\partial t} \left[ \lambda - \int_{0}^t{k(t^{\prime})}dt^{\prime} \right]=-\frac{\partial \Lambda}{\partial t} $$ 二番目の等式では微分積分学の基本定理が使われた。$\lambda$と$\Lambda$の勾配が同じであるため、このように表すことができる。

$$ \nabla \Lambda = \nabla \left\{ \lambda -\int_{0}^t{k(t^{\prime})}dt^{\prime} \right\} =\nabla \lambda - \nabla \int_{0}^t{k(t^{\prime})}dt^{\prime} =\nabla \lambda = \mathbf{\alpha} $$

最終的に整理すると次のようになる。

$$ \mathbf{A}^{\prime} =\mathbf{A} +\nabla \Lambda \\ V^{\prime}=V-\frac{\partial \Lambda}{\partial t} $$

上の式が持つ意味は次の通りだ。

電場$\mathbf{E}$、磁場$\mathbf{B}$を生じさせる一つのペアのポテンシャル($V$, $\mathbf{A}$)が存在する。このとき、あるスカラー関数$\Lambda$に対して$\nabla \Lambda$を$\mathbf{A}$に足して$\dfrac{\partial \Lambda}{\partial t}$を$V$から引くことにより作られた新しいポテンシャル$(V^{\prime}, \mathbf{A}^{\prime}) = (V-\dfrac{\partial \Lambda}{\partial t},\ \mathbf{A}+\nabla \Lambda)$も、同じ電場$\mathbf{E}$、磁場$\mathbf{B}$を生じさせる。つまり、条件をうまく合わせることによりポテンシャルを変更しても電磁場は変わらない。このようにポテンシャルを変えることをゲージ変換と呼ぶ。変換を利用して複雑な式を計算しやすく変えることができる。

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概要1

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