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アイゼンシュタイン整数 📂整数論

アイゼンシュタイン整数

定義

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Z[ω]:={a+ωb:a,b∈Z}\mathbb{Z} [ \omega ] := \left\{ a + \omega b : a, b \in \mathbb{Z} \right\} をアイゼンシュタイン環eisenstein ringと呼び、その要素をアイゼンシュタイン整数という。

定理

  • [1]: ω‾=ω2=−(1+ω)\overline{ \omega } = \omega^{2} = - (1 + \omega)
  • [2]: (a±ωb)+(c±ωd)=(a±c)+ω(b±d)( a \pm \omega b ) + ( c \pm \omega d) = (a \pm c) + \omega (b \pm d)
  • [3]: (a+ωb)(c+ωd)=(ac−bd)+ω(ad−bd+bc)( a + \omega b )( c + \omega d) = (ac - bd) + \omega (ad - bd + bc)

説明

ω\omega は三次方程式 x3+1=0x^3 +1 = 0 の複素根 ω:=−1+−32=e2πi/3\displaystyle \omega := {{-1 + \sqrt{-3}} \over {2}} = e^{2 \pi i/3 } であり、Z[ω]\mathbb{Z} [\omega] は整数環 Z\mathbb{Z} のシンプル拡張になる。ガウス整数と同様に興味深い性質を持ち、計算は少し複雑だが、本質的にはガウス整数に似ているため、特に奇妙ではない。複素平面で見ると、ii は1,i,−1,−i1,i,-1,-i で四角形の格子を形成し、ω\omega は1,−ω2,ω,−1,ω2,−ω1, - \omega^2, \omega, -1, \omega^2, -\omega で三角形の格子を形成する。

もちろん、ガウス整数にガウス素数があるように、アイゼンシュタイン整数にもアイゼンシュタイン素数がある。

Z[i]\mathbb{Z} [i] 上では、次のような通常の数式展開が可能である: (7+ω2)(4−ω2)=(28+4)+ω(−14+4+8)=32−ω2 \begin{align*} (7 + \omega 2)(4 - \omega 2) =& (28 + 4) + \omega (- 14 +4 +8 ) \\ =& 32 - \omega 2 \end{align*} また、ある自然数 n∈Nn \in \mathbb{N} が与えられた場合、有限環 Zn\mathbb{Z}_{n} に対しても Zn[i]\mathbb{Z}_{n}[i] を考えることができる。例えば n=7n = 7とする時、上記の展開は以下のように変わる: (7+i2)(4−i2)=(28+4)+ω(−14+4+8)=32−ω2≡4−ω2(mod7)≡4+ω5(mod7) \begin{align*} (7 + i2)(4 -i 2) =& (28 + 4) + \omega (- 14 +4 +8 ) \\ =& 32 - \omega 2 \\ & \equiv 4 - \omega 2 \pmod{7} \\ & \equiv 4 + \omega 5 \pmod{7} \end{align*} 自然に合同式の使用に注目せよ。Z[i]\mathbb{Z} [i] でうまくいくなら、Z[ω]\mathbb{Z} [\omega] でもうまくいくのは当然のように見える。ii を繰り返し乗算しても高次項が生じないように、ω\omega もω2=−(1+ω)\omega^2 = -(1+\omega) のように次数を下げることができる。もちろん、これは単純な計算ではなく、シンプル拡張の性質によって数学的に保証された事実でもある。

一方、22 と33 は、最小の偶数素数と最小の奇数素数である。実際に研究すると、ガウス整数の性質を深く掘り下げるほどii に、アイゼンシュタイン整数の性質を深く掘り下げるほど33 にこだわりを感じる。面白いことにi‾=i3\overline{i} = i^3 であり、ω‾=ω2\overline{\omega} = \omega^2 を見るほど、純粋数学の美しさを感じることができる。

アイゼンシュタイン環の零因子グラフは アルカムによって研究された。

証明

[1]

ω\omega の定義と共役の性質により ω2=(e2πi/3)2=−eπi/3=−1+i32=(−1+i32)‾=ω‾=−(1+ω) \begin{align*} \omega^2 =& \left( e^{2 \pi i/3 } \right)^2 \\ =& - e^{ \pi i/3 } \\ =& - {{ 1 + i \sqrt{3} } \over { 2 }} \\ =& \overline{ \left( { -1 + i \sqrt{3} } \over { 2 } \right) } \\ =& \overline{ \omega } \\ =& - (1 + \omega) \end{align*}

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[2]

Z[ω]\mathbb{Z} [ \omega ] が環であり、加算に対して結合法則と交換法則が成り立つため (a±ωb)+(c±ωd)=a±ωb+c±ωd=a±c+ωb±ωd=(a±c)+ω(b±d) \begin{align*} ( a \pm \omega b ) + ( c \pm \omega d) =& a \pm \omega b + c \pm \omega d \\ =& a \pm c + \omega b \pm \omega d \\ =& (a \pm c) + \omega (b \pm d) \end{align*}

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[3]

定理 [1] と [2] により (a+ωb)(c+ωd)=ac+ωad+ωbc−(1+ω)bd=(ac−bd)+ω(ad−bd+bc) \begin{align*} ( a + \omega b )( c + \omega d) =& ac + \omega ad + \omega bc -(1 + \omega) bd \\ =& (ac - bd) + \omega (ad - bd + bc) \end{align*}

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