アイゼンシュタイン整数
定義
$\mathbb{Z} [ \omega ] := \left\{ a + \omega b : a, b \in \mathbb{Z} \right\}$ をアイゼンシュタイン環eisenstein ringと呼び、その要素をアイゼンシュタイン整数という。
定理
- [1]: $\overline{ \omega } = \omega^{2} = - (1 + \omega)$
- [2]: $( a \pm \omega b ) + ( c \pm \omega d) = (a \pm c) + \omega (b \pm d)$
- [3]: $( a + \omega b )( c + \omega d) = (ac - bd) + \omega (ad - bd + bc)$
説明
$\omega$ は三次方程式 $x^3 +1 = 0$ の複素根 $\displaystyle \omega := {{-1 + \sqrt{-3}} \over {2}} = e^{2 \pi i/3 }$ であり、$\mathbb{Z} [\omega]$ は整数環 $\mathbb{Z}$ のシンプル拡張になる。ガウス整数と同様に興味深い性質を持ち、計算は少し複雑だが、本質的にはガウス整数に似ているため、特に奇妙ではない。複素平面で見ると、$i$ は$1,i,-1,-i$ で四角形の格子を形成し、$\omega$ は$1, - \omega^2, \omega, -1, \omega^2, -\omega$ で三角形の格子を形成する。
もちろん、ガウス整数にガウス素数があるように、アイゼンシュタイン整数にもアイゼンシュタイン素数がある。
$\mathbb{Z} [i]$ 上では、次のような通常の数式展開が可能である: $$ \begin{align*} (7 + \omega 2)(4 - \omega 2) =& (28 + 4) + \omega (- 14 +4 +8 ) \\ =& 32 - \omega 2 \end{align*} $$ また、ある自然数 $n \in \mathbb{N}$ が与えられた場合、有限環 $\mathbb{Z}_{n}$ に対しても $\mathbb{Z}_{n}[i]$ を考えることができる。例えば $n = 7$とする時、上記の展開は以下のように変わる: $$ \begin{align*} (7 + i2)(4 -i 2) =& (28 + 4) + \omega (- 14 +4 +8 ) \\ =& 32 - \omega 2 \\ & \equiv 4 - \omega 2 \pmod{7} \\ & \equiv 4 + \omega 5 \pmod{7} \end{align*} $$ 自然に合同式の使用に注目せよ。$\mathbb{Z} [i]$ でうまくいくなら、$\mathbb{Z} [\omega]$ でもうまくいくのは当然のように見える。$i$ を繰り返し乗算しても高次項が生じないように、$\omega$ も$\omega^2 = -(1+\omega)$ のように次数を下げることができる。もちろん、これは単純な計算ではなく、シンプル拡張の性質によって数学的に保証された事実でもある。
一方、$2$ と$3$ は、最小の偶数素数と最小の奇数素数である。実際に研究すると、ガウス整数の性質を深く掘り下げるほど$i$ に、アイゼンシュタイン整数の性質を深く掘り下げるほど$3$ にこだわりを感じる。面白いことに$\overline{i} = i^3$ であり、$\overline{\omega} = \omega^2$ を見るほど、純粋数学の美しさを感じることができる。
アイゼンシュタイン環の零因子グラフは アルカムによって研究された。
証明
[1]
$\omega$ の定義と共役の性質により $$ \begin{align*} \omega^2 =& \left( e^{2 \pi i/3 } \right)^2 \\ =& - e^{ \pi i/3 } \\ =& - {{ 1 + i \sqrt{3} } \over { 2 }} \\ =& \overline{ \left( { -1 + i \sqrt{3} } \over { 2 } \right) } \\ =& \overline{ \omega } \\ =& - (1 + \omega) \end{align*} $$
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[2]
$\mathbb{Z} [ \omega ]$ が環であり、加算に対して結合法則と交換法則が成り立つため $$ \begin{align*} ( a \pm \omega b ) + ( c \pm \omega d) =& a \pm \omega b + c \pm \omega d \\ =& a \pm c + \omega b \pm \omega d \\ =& (a \pm c) + \omega (b \pm d) \end{align*} $$
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[3]
定理 [1] と [2] により $$ \begin{align*} ( a + \omega b )( c + \omega d) =& ac + \omega ad + \omega bc -(1 + \omega) bd \\ =& (ac - bd) + \omega (ad - bd + bc) \end{align*} $$
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