📂統計的分析

アーチ効果

定義 ¹

アーチ効果とは、そのAutoRegressive Conditional Heteroscedasticity、つまり「自己回帰条件付き分散不均一効果」という文字通りの意味で、そのままでは中和されない。

説明

簡単に言えば、データの変動性が変わり、それが以前のデータで説明できる場合、データにアーチ効果があると言える。

このようなアーチ効果を統計的に説明するモデルをアーチモデルと言い、通常は一般化GARCHモデルを使用する。

実践

上のグラフは、組み込みデータEuStockMarketsからDAXだけを抽出して、そのリターンを描いたものだ。一見するとアーチ効果があるように見えるが、リターンを使ってアーチ効果を検出してみよう。

まず最初に思いつく方法は、リターンにACFとPACFを取り、自己相関があるかを見ることだ。しかし、上の結果は特にアーチ効果があるという証拠にはならない。

ここで、考え方を変えなければならない。今の目標は、「変動性」がどのように変わるかを知ることだった。ARMAモデルは実際に値の上下に関心があるため、マイナスかプラスかも重要な情報だったが、少なくともこの場合は、「変化の大きさ」だけを気にすればいい。

リターンの絶対値を取ったグラフは、リターンの「太さ」ではなく、「高さ」だけを見ればいいので、ずっと理解しやすくなる。実際にここでACFとPACFを取った結果を確認してみよう。

今まで見えなかった自己相関関係がはっきりと現れる。従って、データにアーチ効果があると考えてみるのが妥当だ。

もちろん、データを正数にする方法として平方を取る方法もある。一見、絶対値の場合とは違って見えるが、伝えたいことは結局「アーチ効果があるかもしれない」ということであり、違いには気をつける必要はない。しかし、正確な分析や式展開では通常、平方が考えられており、リターン$r_{t}$が分散不均一性を特定するための表現であり、分散を通常$\sigma^2$のように書くことを考えれば当然のことである。

このような方法以外にも、マクリオド・リーテストも考慮できる。p値が赤い点線の下に落ちれば、アーチ効果があると疑う。この場合はDAXのリターンでテストしたが、そのような結果は非常に強くアーチ効果があることを意味する。

このように、アーチ効果があると仮定されれば、GARCHモデルでの分析のみが残っている。

コード

library(TSA)
returnize <- function(data) {return(diff(log(data)))}

DAX <- ts(EuStockMarkets[,1],start=1)
r.DAX <- returnize(DAX)
win.graph(6,3); par(mfrow=c(1,2))
acf(r.DAX,main='리턴 ACF')
pacf(r.DAX,main='리턴 PACF')
win.graph(6,4)
plot(abs(r.DAX),type='h',main='DAX의 리턴의 절대값')
win.graph(6,3); par(mfrow=c(1,2))
acf(abs(r.DAX),main='리턴의 절댓값 ACF')
pacf(abs(r.DAX),main='리턴의 절댓값 PACF')
win.graph(6,3); par(mfrow=c(1,2))
acf(r.DAX^2,main='리턴의 제곱 ACF')
pacf(r.DAX^2,main='리턴의 제곱 PACF')
win.graph(6,3)
McLeod.Li.test(y=r.DAX)