L^p 空間が一様に凸であり、反射的であることの証明
📂ルベーグ空間L^p 空間が一様に凸であり、反射的であることの証明
定理
1<p<∞ とする。すると、Lp空間は一様に凸であり、反射的である。
説明
一様な凸性の定義と クラークソンの不等式 を使って証明が可能だ。クラークソンの不等式のおかげで、証明が簡単かつ短く終わる。フィニッシュムーブみたいな感じだ。
一様に凸
ノルム空間 X上で、ノルム ∥⋅∥が以下の条件を満たす場合、ノルムとノルム空間 Xを一様に凸であるという。すべての 0<ϵ≤2に対して、ある正の δ(ϵ)>0が存在し、x,y∈Xでかつ∣x∣=∣y∣=1, ∣x−y∣≥ϵの場合、2x+y≤1−δ(ϵ)を満たす。
補助定理: クラークソンの不等式
u,v∈L p(Ω) とする。また、p1+p′1=1を満たすとする。もし 2≤p<∞ならば
2u+vpp+2u−vpp≤21∣u∣pp+21∣v∣pp⋯(1)
もし 1<p≤2ならば
2u+vpp′+2u−vpp′≤(21∣u∣pp+21∣v∣pp)>p′−1⋯(2)
証明
0<ϵ<2が与えられたとする。そして、u, v∈Lpが ∥u∥p=∥v∥q=1であり、∣u−v∣p≥ϵを満たすとする。その場合、一様凸性の定義により
2x+yp≤1−δ
を満たす δ=δ(ϵ)>0の存在を示せば良い。
ケース 1. 1<p ≤2
仮定により 2u−vp≥2ϵである。その場合、クラークソンの不等式 (2)により
2u+vpp′≤≤=−2u−vpp′+(21∥u∥pp+21∥v∥qp)p′−1−(2ϵ)p′+(21+21)p′−1 1−(2ϵ)p′
この時、0<2ϵ<1であるから、1−(2ϵ)p′<1であり
2u+vp≤[1−(2ϵ)p′]p′1=1−δ(ϵ)
を満たす正の δ(ϵ)>0が存在する。
ケース 2. 2≤p<∞
同様に、仮定により 2u−vp≥2ϵである。その場合、クラークソンの不等式 (1)により
2u+vpp≤≤=−2u−vpp+21∥u∥pp+21∥v∥qp−(2ϵ)p+21+21 1−(2ϵ)p
同様に、0<2ϵ<1であるから、1−(2ϵ)p<1であり
2u+vp≤[1−(2ϵ)p]p1=1−δ(ϵ)
を満たす正の δ(ϵ)>0が存在する。2つのケースにおいて、0<δ=δ(ϵ)が存在するので、Lp空間は一様に凸である。
補助定理
一様に凸なバナッハ空間は反射的である。
Lp空間はバナッハ空間であり、一様に凸なので、補助定理により反射的である。
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