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L^p 空間が一様に凸であり、反射的であることの証明 📂ルベーグ空間

L^p 空間が一様に凸であり、反射的であることの証明

定理1

1<p<1 \lt p \lt \infty とする。すると、LpL^{p}空間は一様に凸であり、反射的である。

説明

一様な凸性の定義と クラークソンの不等式 を使って証明が可能だ。クラークソンの不等式のおかげで、証明が簡単かつ短く終わる。フィニッシュムーブみたいな感じだ。

一様に凸

ノルム空間 XX上で、ノルム \left\| \cdot \right\|が以下の条件を満たす場合、ノルムとノルム空間 XXを一様に凸であるという。すべての 0<ϵ20<\epsilon \le 2に対して、ある正の δ(ϵ)>0\delta (\epsilon)>0が存在し、x,yXx,y \in Xでかつx=y=1| x |=|y|=1, xyϵ| x-y| \ge \epsilonの場合、x+y21δ(ϵ)\left\|\dfrac{ x+y}{2} \right\| \le 1-\delta (\epsilon)を満たす。

補助定理: クラークソンの不等式

u,vL p(Ω)u,v\in {L}^{\ p}(\Omega) とする。また、1p+1p=1\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1を満たすとする。もし 2p<2\le p <\inftyならば

u+v2pp+uv2pp12upp+12vpp(1) \left\| \frac{u+v}{2}\right\|_{p}^{p}+ \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p}^{p} \le \frac{1}{2}| u|_{p}^{p} + \frac{1}{2}|v|_{p}^{p} \quad \cdots (1)

もし 1<p21<p \le 2ならば

u+v2pp+uv2pp(12upp+12vpp)>p1(2) \left\| \frac{u+v}{2}\right\|_{p}^{p^{\prime}}+ \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}} \le \left( \frac{1}{2}| u|_{p}^{p} + \frac{1}{2}|v|_{p}^{p}\right)^> {p^{\prime}-1} \quad \cdots (2)

証明

0<ϵ<20 < \epsilon <2が与えられたとする。そして、u, vLpu,\ v \in {L}^{p}up=vq=1\| u \|_{p}=\left\| v \right\|_{q}=1であり、uvpϵ|u-v|_{p} \ge \epsilon を満たすとする。その場合、一様凸性の定義により

x+y2p1δ \left\| \frac{x+y}{2} \right\|_{p} \le 1-\delta

を満たす δ=δ(ϵ)>0\delta=\delta (\epsilon)>0の存在を示せば良い。

  • ケース 1. 1<p 21<p\ \le 2

    仮定により uv2pϵ2\displaystyle \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p} \ge \frac{\epsilon}{2}である。その場合、クラークソンの不等式 (2)(2)により

    u+v2ppuv2pp+(12upp+12vqp)p1(ϵ2)p+(12+12)p1= 1(ϵ2)p \begin{align*} \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}} \le & -\left\| \frac{u-v}{2}\right\|_{p}^{p^{\prime}} + \left( \frac{1}{2} \| u \|_{p}^{p} +\frac{1}{2}\left\| v \right\|_{q}^{p} \right)^{p^{\prime}-1} \\ \le& -\left( \frac{\epsilon}{2}\right)^{p^{\prime}} +\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right)^{p^{\prime}-1} \\ =&\ 1-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p^{\prime}} \end{align*}

    この時、0<ϵ2<10 < \frac{\epsilon}{2} < 1であるから、1(ϵ2)p<11-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p^{\prime}}<1であり

    u+v2p[1(ϵ2)p]1p=1δ(ϵ) \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p} \le \left[ 1-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p^{\prime}}\right]^{\frac{1}{p^{\prime}}} = 1-\delta (\epsilon)

    を満たす正の δ(ϵ)>0\delta (\epsilon)>0が存在する。

  • ケース 2. 2p<2 \le p < \infty

    同様に、仮定により uv2pϵ2\displaystyle \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p} \ge \frac{\epsilon}{2}である。その場合、クラークソンの不等式 (1)(1)により

    u+v2ppuv2pp+12upp+12vqp(ϵ2)p+12+12= 1(ϵ2)p \begin{align*} \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p}^{p} \le& -\left\| \frac{u-v}{2}\right\|_{p}^{p} + \frac{1}{2} \| u \|_{p}^{p} +\frac{1}{2}\left\| v \right\|_{q}^{p} \\ \le & -\left( \frac{\epsilon}{2}\right)^{p} +\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ =&\ 1-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p} \end{align*}

    同様に、0<ϵ2<10 < \frac{\epsilon}{2} < 1であるから、1(ϵ2)p<11-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p}<1であり

    u+v2p[1(ϵ2)p]1p=1δ(ϵ) \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p} \le \left[ 1-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p}\right]^{\frac{1}{p}} = 1-\delta (\epsilon)

    を満たす正の δ(ϵ)>0\delta (\epsilon)>0が存在する。2つのケースにおいて、0<δ=δ(ϵ)0 < \delta =\delta (\epsilon)が存在するので、LpL^{p}空間は一様に凸である。

補助定理

一様に凸なバナッハ空間は反射的である。

Lp{L}^{p}空間はバナッハ空間であり、一様に凸なので、補助定理により反射的である。


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p45 ↩︎