📂ルベーグ空間

L^p 空間が一様に凸であり、反射的であることの証明

定理¹

$1 \lt p \lt \infty$ とする。すると、$L^{p}$空間は一様に凸であり、反射的である。

説明

一様な凸性の定義と クラークソンの不等式 を使って証明が可能だ。クラークソンの不等式のおかげで、証明が簡単かつ短く終わる。フィニッシュムーブみたいな感じだ。

一様に凸

ノルム空間 $X$上で、ノルム $\left\| \cdot \right\|$が以下の条件を満たす場合、ノルムとノルム空間 $X$を一様に凸であるという。すべての $0<\epsilon \le 2$に対して、ある正の $\delta (\epsilon)>0$が存在し、$x,y \in X$でかつ$| x |=|y|=1$, $| x-y| \ge \epsilon$の場合、$\left\|\dfrac{ x+y}{2} \right\| \le 1-\delta (\epsilon)$を満たす。

補助定理: クラークソンの不等式

$u,v\in {L}^{\ p}(\Omega)$ とする。また、$\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1$を満たすとする。もし $2\le p <\infty$ならば

$$ \left\| \frac{u+v}{2}\right\|_{p}^{p}+ \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p}^{p} \le \frac{1}{2}| u|_{p}^{p} + \frac{1}{2}|v|_{p}^{p} \quad \cdots (1) $$

もし $1<p \le 2$ならば

$$ \left\| \frac{u+v}{2}\right\|_{p}^{p^{\prime}}+ \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}} \le \left( \frac{1}{2}| u|_{p}^{p} + \frac{1}{2}|v|_{p}^{p}\right)^> {p^{\prime}-1} \quad \cdots (2) $$

証明

$0 < \epsilon <2$が与えられたとする。そして、$u,\ v \in {L}^{p}$が $\| u \|_{p}=\left\| v \right\|_{q}=1$であり、$|u-v|_{p} \ge \epsilon $を満たすとする。その場合、一様凸性の定義により

$$ \left\| \frac{x+y}{2} \right\|_{p} \le 1-\delta $$

を満たす $\delta=\delta (\epsilon)>0$の存在を示せば良い。

• ケース 1. $1<p\ \le 2$

  仮定により $\displaystyle \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p} \ge \frac{\epsilon}{2}$である。その場合、クラークソンの不等式 $(2)$により

  $$ \begin{align*} \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}} \le & -\left\| \frac{u-v}{2}\right\|_{p}^{p^{\prime}} + \left( \frac{1}{2} \| u \|_{p}^{p} +\frac{1}{2}\left\| v \right\|_{q}^{p} \right)^{p^{\prime}-1} \\ \le& -\left( \frac{\epsilon}{2}\right)^{p^{\prime}} +\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right)^{p^{\prime}-1} \\ =&\ 1-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p^{\prime}} \end{align*} $$

  この時、$0 < \frac{\epsilon}{2} < 1$であるから、$1-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p^{\prime}}<1$であり

  $$ \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p} \le \left[ 1-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p^{\prime}}\right]^{\frac{1}{p^{\prime}}} = 1-\delta (\epsilon) $$

  を満たす正の $\delta (\epsilon)>0$が存在する。

• ケース 2. $2 \le p < \infty$

  同様に、仮定により $\displaystyle \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p} \ge \frac{\epsilon}{2}$である。その場合、クラークソンの不等式 $(1)$により

  $$ \begin{align*} \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p}^{p} \le& -\left\| \frac{u-v}{2}\right\|_{p}^{p} + \frac{1}{2} \| u \|_{p}^{p} +\frac{1}{2}\left\| v \right\|_{q}^{p} \\ \le & -\left( \frac{\epsilon}{2}\right)^{p} +\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ =&\ 1-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p} \end{align*} $$

  同様に、$0 < \frac{\epsilon}{2} < 1$であるから、$1-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p}<1$であり

  $$ \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p} \le \left[ 1-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p}\right]^{\frac{1}{p}} = 1-\delta (\epsilon) $$

  を満たす正の $\delta (\epsilon)>0$が存在する。２つのケースにおいて、$0 < \delta =\delta (\epsilon)$が存在するので、$L^{p}$空間は一様に凸である。

補助定理

一様に凸なバナッハ空間は反射的である。

${L}^{p}$空間はバナッハ空間であり、一様に凸なので、補助定理により反射的である。

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