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量子力学におけるグラム・シュミットの直交化過程 📂量子力学

量子力学におけるグラム・シュミットの直交化過程

定義

グラム・シュミットの直交化法Gram-Schmidt orthogonalization procedureは、互いに直交していないベクトルから直交集合を作る方法のことだ。

公式

時間無関係な二つの一次元波動関数 u1u_{1}、u2u_{2}を与えられたとしよう。このとき、u1u_{1}と u2u_{2}は正規化されていて、互いに直交していないとしよう。そうすると、次のような波動関数uuは、u1u_{1}と直交する正規化された波動関数だ。

u=(−∫u1∗u2dx)u1+u21−∣∫u1∗u2dx∣2=−⟨u1∣u2⟩u1+u21−∣⟨u1∣u2⟩∣2 \begin{align*} u &= \dfrac { \displaystyle \left(- \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \right)u_{1} + u_{2}}{\displaystyle \sqrt{ 1-\left| \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \right|^{2}}} \\ &= \dfrac { -\braket{u_{1} | u_{2}} u_{1} + u_{2}}{\sqrt{ 1-\left| \braket{u_{1} | u_{2}} \right|^{2}}} \\ \end{align*}

説明

u1u_{1}とu2u_{2}からu1u_{1}と直交する新しい固有関数uuを見つけるのが目的だから、まずu=c1u1+c2u2u = c_{1} u_{1} + c_{2}u_{2}としよう。さて、uuがu1u_{1}と直交している条件とuuの正規化条件を利用してc1c_{1}とc2c_{2}を求めることができる。

  • パート1. uuとu1u_{1}は直交する。

    uuはu1u_{1}と直交しているから次が成り立つ。

    ∫uu1∗dx=∫(c1u1u1∗+c2u2u1∗)dx=∫c1u1u1∗dx+∫c2u2u1∗dx=c1+c2∫u1∗u2dx=0 \begin{align*} \int uu_{1}^{\ast} dx &= \int \left( c_{1} u_{1}u_{1}^{\ast} + c_{2}u_{2}u_{1}^{\ast}\right) dx \\ &= \int c_{1}u_{1} u_{1}^{\ast}dx + \int c_{2}u_{2}u_{1}^{\ast} dx \\ &= c_{1} + c_{2}\int u_{1}^{\ast}u_{2} dx \\ &= 0 \end{align*}

    したがって次を得る。

    c1=−c2∫u1∗u2dx(1) c_{1}=-c_{2} \int u_{1}^{\ast}u_{2} dx \tag{1}

  • パート2. uuは正規化された関数だ。

    uuは正規化された固有関数だから次が成り立つ。

    ∫uu∗dx=∫(c1u1+c2u2)(c1u1∗+c2u2∗)dx=(c1)2∫u1u1∗dx+(c2)2∫u2u2∗dx+c1c2(∫u1∗u2dx+∫u1u2∗dx)=(c1)2+(c2)2+c1c2(∫u1∗u2dx+∫u1u2∗dx)=1 \begin{align*} \int uu^{\ast} dx &= \int (c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2})(c_{1}u_{1}^{\ast}+c_{2}u_{2}^{\ast})dx \\ &= (c_{1})^{2} \int u_{1}u_{1}^{\ast} dx + (c_{2})^{2} \int u_{2}u_{2}^{\ast} dx + c_{1}c_{2} \left( \int u_{1}^{\ast}u_{2} dx + \int u_{1}u_{2}^{\ast}dx \right) \\ &= (c_{1})^{2} + (c_{2})^{2} + c_{1}c_{2} \left( \int u_{1}^{\ast}u_{2} dx + \int u_{1}u_{2}^{\ast}dx \right) \\ &=1 \end{align*}

    最後の等式に(1)(1)を代入すると以下のようだ。

    (c2)2(∫u1∗u2dx)2+(c2)2−(c2)2(∫u1∗u2dx)2−(c2)2∫u1∗u2dx∫u1u2∗dx=1 (c_{2})^{2} \left( \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \right)^{2} + (c_{2})^{2} -(c_{2})^{2} \left( \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx\right)^{2} -(c_{2})^{2} \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \int u_{1}u_{2}^{\ast} dx =1

      ⟹  (c2)2−(c2)2∫u1∗u2dx∫u1u2∗dx=1 \implies (c_{2})^{2} -(c_{2})^{2} \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \int u_{1}u_{2}^{\ast} dx =1

      ⟹  (c2)2(1−∣∫u1∗u2dx∣2)=1 \implies (c_{2})^{2} \left( 1- \left| \int u_{1}^{\ast}u_{2} dx \right |^{2} \right)=1

      ⟹  c2=11−∣∫u1∗u2dx∣2 \implies c_{2}=\dfrac{1}{\displaystyle \sqrt{1- \left|\int u_{1}^{\ast}u_{2} dx \right|^{2}}}

    ここでc2c_{2}の符号として++を選んだのは単に便宜のためであり、−-を選んでも構わない。これを(1)(1)に代入するとc1c_{1}を得る。

    c1=−∫u1∗u2dx1−∣∫u1∗u2dx∣2 c_{1} = \dfrac{\displaystyle -\int u_{1}^{\ast}u_{2} dx }{\displaystyle \sqrt{1- \left|\int u_{1}^{\ast}u_{2} dx \right|^{2}}}

したがって、u1u_{1}と直交しており、かつ正規化された関数uuは次の通りだ。

u=(−∫u1∗u2dx)u1+u21−∣∫u1∗u2dx∣2 u = \dfrac {\displaystyle \left(- \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \right)u_{1} + u_{2}}{\displaystyle \sqrt{ 1-\left| \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \right|^{2}}}

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