📂バナッハ空間

セミノルム

定義¹

$X$をベクトル空間とする。以下の三つの条件を満たす関数$\left\| \cdot \right\| : X \to \mathbb{R}$が存在する場合、$\left\| \cdot \right\|$を$X$のセミノルム^{セミノルム、半ノルム}という。

(a) $\left\| x \right\| \ge 0,\quad \forall\ x \in X$

(b) $|cx|=|c|\left\| x \right\|,\quad \forall\ x\in X,\ \forall\ c \in\mathbb{C}$

(c) $\left\| x + y \right\| \le \left\| x \right\| + \left\| y \right\|,\quad \forall\ x,y\in X$

説明

ノルムの定義から$\left\| x \right\|=0 \iff x = 0$が抜けているわけだ。