ソボレフ空間はバナッハ空間であることの証明

定理¹

ソボレフ空間 $W^{m, p}$はバナッハ空間だ。

説明

ノルムが定義されていて完備な空間をバナッハ空間という。ソボレフ空間を定義する時に、ノルムも一緒に定義したから、完備であることを確認すればいい。したがって、$W^{m, p}$内のコーシー数列が$W^{m, p}$内で収束することを示せばいい。証明は比較的簡単だ。

証明

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$を開集合とする。$\left\{ u_{n} \right\}$を$W^{m, p}$内のコーシー数列とする。

ソボレフ空間の定義

$$W^{m, p}(\Omega):=\left\{ u \in L^{p}(\Omega) : D^\alpha u \in L^{p}(\Omega),\ 0\le |\alpha | \le m \right\}$$

この時、$D^\alpha u$は$u$の弱微分だ。

その時、$W^{m, p}$の定義により、$\left\{ D^\alpha u_{n} \right\}$は$0\le |\alpha| \le m$に対する$L^{p}$空間のコーシー数列だ。$L^{p}$は完備空間なので、両方のコーシー数列は収束する。その極限をそれぞれ$u$、$u_\alpha$とする。

$$u_{n} \rightarrow u \quad \mathrm{in}\ L^{p}$$

$$D^\alpha u_{n} \rightarrow u_\alpha\quad \mathrm{for}\ 0\le |\alpha | \le m \quad \mathrm{in} \ L^{p}$$

そして、$u_{n} \in L^{p}(\Omega) \subset L_{\text{loc}}^{1}(\Omega)$は局所的に可積分なので、対応する超関数$T_{u_{n}} \in D^{\prime}(\Omega)$がある。

$$T_{u_{n}}(\phi)=\int_{\Omega} u_{n}(x)\phi (x)dx,\quad \phi \in D(\Omega)$$

すると、

$$\left| T_{u_{n}}(\phi)-T_{u}(\phi) \right| \le \int |u_{n}(x)-u(x)||\phi (x)|dx \le \|u_{n}-u\|_{p}\ \|\phi\|_{p^{\prime}}$$

最初の不等式は絶対値の性質によって成り立ち、2番目の不等式はヘルダーの不等式によって成り立つ。$p^{\prime}$は$p$の共役指数だ。そして$u_{n} \rightarrow u$であるので、上の式は$0$に収束する。

$$\begin{equation} T_{u_{n}}(\phi) \rightarrow T_{u}(\phi), \quad \forall \phi\in D(\Omega)\ \mathrm{as}\ n\rightarrow \infty \end{equation}$$

同様に、以下の式も成り立つことを確認できる。

$$\begin{equation} T_{D^\alpha u_{n}}(\phi) \rightarrow T_{u_\alpha}(\phi) \end{equation}$$

今、$T_{u_\alpha}$を計算してみよう。

$$\begin{align*} T_{u_\alpha}(\phi) =&\ \lim \limits_{n\rightarrow \infty}T_{D^\alpha u_{n}}(\phi) \\ =&\ \lim \limits_{n\rightarrow \infty} (-1)^{|\alpha|}T_{u_{n}}(D^\alpha \phi) \\ =&\ (-1)^{|\alpha|}T_{u}(D^\alpha \phi) \end{align*}$$

最初の式は$(2)$によって成り立つ。超関数の微分を定義する時にしたように部分積分を使うと、$T_{D^\alpha u_{n}}(\phi)=T_{u_{n}}(D^\alpha \phi)$となり、2番目の式が成り立つことが容易に示せる。3番目の式は$(1)$によって成り立つ。弱微分の定義によって、$u_\alpha$と$D^\alpha u$は$0 \le |\alpha | \le m$に関してdistributional senseで同じだ。したがって、$D^\alpha u_{n} \rightarrow u_\alpha=D^\alpha u$だ。今、$\| u_{n} -u\|_{m, p}$が$0$に収束するかを確認すれば、証明は終わる。$1 \le p < \infty$時、

$$\begin{align*} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \|u_{n}-u\|_{m, p}^p =&\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{0\le |\alpha| \le m } \|D^\alpha u_{n}-D^\alpha u \|^p_{p} \\ =&\ \sum\limits_{0\le |\alpha| \le m } \|u_\alpha-D^\alpha u \|^p_{p} \\ =&\ \sum\limits_{0\le |\alpha| \le m } \|D^\alpha u-D^\alpha u \|^p_{p} \\ =&\ 0 \end{align*}$$

$p=\infty$時も同様に、

$$\begin{align*} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \|u_{n}-u\|_{m, p} =&\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\max\limits_{0\le |\alpha| \le m} \|D^\alpha u_{n} - D^\alpha u\|_\infty \\ =&\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\max\limits_{0\le |\alpha| \le m} \|u_\alpha - D^\alpha u\|_\infty \\ =&\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\max\limits_{0\le |\alpha| \le m} \|D^\alpha u - D^\alpha u\|_\infty \\ =&\ 0 \end{align*}$$

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