実数空間で定義された関数の微分
📂解析学実数空間で定義された関数の微分
定義
aを含むあるEでfが定義されていて、限界
f′(a):=h→0limhf(a+h)−f(a)=x→alimx−af(x)−f(a)
が存在するならば、fはaで微分可能differentiableであるといい、f′(a)をaでのfの微分係数という。
全ての点a∈Eに対してfが微分可能なら、fはEで微分可能であるという。fがEで微分可能な時、E上で定義されたf′をfの導関数derivativeと呼ぶ。
説明
解析学を学ぶ上で最も歓迎されるのが微分だ。なぜなら、数列であれ積分であれ本来の姿をそのまま持っているだけでなく、複雑になることに比べて、微分だけが比較的簡単で理解しやすいからだ。多重積分や偏微分も登場するが、他の概念に比べれば簡単で分かりやすい。このように微分の定義をあえて「実数空間」に限定し、偏微分が言及されるのは、微分が多次元に拡張されることを示唆しているためだ。
定理
(a) 連続性: fがa∈Eで微分可能ならば、a∈Eで連続である。
(b) 連鎖律: (g∘f)′(a)=g’(f(a))f′(a)
(c) 逆関数の定理: 開区間Eでf:E→Rが一対一の連続関数であるとする。(i) あるa∈Eに対してb=f(a)であり、(ii): f′(a)=0が存在するならば、f−1はaで微分可能であり、
(f−1)′(b)=f′(a)1