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実数空間で定義された関数の微分 📂解析学

実数空間で定義された関数の微分

定義1

aaを含むあるEEffが定義されていて、限界

f(a):=limh0f(a+h)f(a)h=limxaf(x)f(a)xa f^{\prime} (a) := \lim_{h \to 0} {{ f (a + h ) - f(a) } \over { h }}=\lim \limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

が存在するならば、ffaa微分可能differentiableであるといい、f(a)f^{\prime} (a)aaでのff微分係数という。

全ての点aEa \in Eに対してffが微分可能なら、ffEEで微分可能であるという。ffEEで微分可能な時、EE上で定義されたff^{\prime}ff導関数derivativeと呼ぶ。

説明

解析学を学ぶ上で最も歓迎されるのが微分だ。なぜなら、数列であれ積分であれ本来の姿をそのまま持っているだけでなく、複雑になることに比べて、微分だけが比較的簡単で理解しやすいからだ。多重積分や偏微分も登場するが、他の概念に比べれば簡単で分かりやすい。このように微分の定義をあえて「実数空間」に限定し、偏微分が言及されるのは、微分が多次元に拡張されることを示唆しているためだ。

定理

(a) 連続性: ffaEa \in Eで微分可能ならば、aEa \in Eで連続である。

(b) 連鎖律: (gf)(a)=g(f(a))f(a)( g \circ f)' ( a ) = g ’ ( f (a) ) f '(a)

(c) 逆関数の定理: 開区間EEf:ERf : E \to \mathbb{R}が一対一の連続関数であるとする。(i) あるaEa \in Eに対してb=f(a)b = f(a)であり、(ii): f(a)0f ' (a) \ne 0が存在するならば、f1f^{-1}aaで微分可能であり、

(f1)(b)=1f(a) \left( f^{-1} \right)' (b) = {{ 1 } \over { f '(a) }}


  1. William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010), p98-99 ↩︎