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クラークソンの不等式の証明

定理¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$を開集合としよう。

$u,v\in {L}^{p}(\Omega)$とする。また$\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1$を満たすとする。もし$2 \le p \lt \infty$ならば、次の二つの不等式が成り立つ。

$$ \begin{equation} \left\| \frac{u+v}{2}\right\|_{p}^{p}+ \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p}^{p} \le \frac{1}{2}\left\| u \right\|_{p}^{p} + \frac{1}{2}\left\| v \right\|_{p}^{p} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \left\| \frac{u+v}{2}\right\|_{p}^{p^{\prime}}+ \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}} \ge \left( \frac{1}{2}\left\| u \right\|_{p}^{p} + \frac{1}{2}\left\| v \right\|_{p}^{p}\right)^{p^{\prime}-1} \end{equation} $$

もし$1 \lt p \le 2$ならば、次の二つの不等式が成り立つ。

$$ \begin{equation} \left\| \frac{u+v}{2}\right\|_{p}^{p}+ \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p}^{p} \ge \frac{1}{2}\left\| u \right\|_{p}^{p} + \frac{1}{2}\left\| v \right\|_{p}^{p} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \left\| \frac{u+v}{2}\right\|_{p}^{p^{\prime}}+ \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}} \le \left( \frac{1}{2}\left\| u \right\|_{p}^{p} + \frac{1}{2}\left\| v \right\|_{p}^{p}\right)^{p^{\prime}-1} \end{equation} $$

説明

これをクラークソンの不等式^{Clarkson’s inequalities}と言う。

$(1)$と$(3)$、$(2)$と$(4)$は同じ式で不等号の向きが逆だ。

多くの不等式がそうであるように、これ自体に大きな意味があるわけではなく、他の重要な定理を証明する時に便利に使われる。証明に必要な補助定理や式が多いため、あらかじめ整理しておく。$\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1$なので、よく整理すれば下の式を得ることができる。

$$ \begin{array}{c} \displaystyle (a)\ p^{\prime}=p(p^{\prime}-1),\quad (b)\ p=p^{\prime}(p-1),\quad (c)\ \frac{p}{p^{\prime}}=p-1 \\ \displaystyle (d)\ \frac{p^{\prime}}{p}=p^{\prime}-1,\quad (e)\frac{1}{p-1}=p^{\prime}-1\end{array} \quad \cdots (5) $$

また、ノルムの定義を利用すれば、$u\in {L}^{p}$に対して下の式が成り立つことを簡単に確認できる。

$$ \| u \|_{p}^{p^{\prime}}=|\ |u|^{p^{\prime}} |_{p-1}\quad \cdots (6) $$

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補助定理

$z,w \in \mathbb{C}$であり、$\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1$だとしよう。もし$1<p \le 2$ならば、下の不等式が成り立つ。

$$ \left| \frac{z+w}{2} \right|^{p^{\prime}} + \left| \frac{z-w}{2} \right|^{p^{\prime}} \le \left( \frac{1}{2}|z|^{p} + \frac{1}{2}|w|^{p} \right)^{\frac{1}{p-1}}\quad \cdots (7) $$

もし$2 \le p <\infty$ならば、下の不等式が成り立つ。

$$ \left| \frac{z+w}{2} \right|^{p} + \left| \frac{z-w}{2} \right|^{p} \le \frac{1}{2}|z|^{p} + \frac{1}{2}|w|^{p} \quad \cdots (8) $$

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ミンコフスキーの不等式^{Minkowski inequality}

$1 \le p<\infty$としよう。もし$u,v\in {L}^{ p}$ならば、次の不等式が成り立つ。

$$ | u+v|_{p} \le \| u \|_{p}+\left\| v \right\|_{p} $$

逆ミンコフスキーの不等式^{reverse Minkowski inequality}

$0<p \le 1$としよう。もし$u,v\in {L}^{ p}$ならば、次の不等式が成り立つ。

$$ | \ |u|+|v| \ |_{p} \ge \| u \|_{p}+\left\| v \right\|_{p} $$

証明

(1)

$2 \le p <\infty$と仮定しよう。$z=u(x)$、$w=v(x)$を$(8)$に代入し、積分を取ると、$(1)$を直接得ることができる。

$$ \int_{\Omega} \left( \left| \frac{u+v}{2} \right|^{p}+ \left| \frac{u-v}{2} \right|^{p} \right) dx \le \int_{\Omega} \left( \frac{1}{2}|u|^{p} +\frac{1}{2}|v|^{p} \right) dx $$

$$ \implies \int_{\Omega} \left| \frac{u+v}{2} \right|^{p}dx+ \int_{\Omega} \left| \frac{u-v}{2} \right|^{p} dx \le \frac{1}{2}\int_{\Omega} |u|^{p}dx +\frac{1}{2}\int_{\Omega} |v|^{p} dx $$

$$ \implies \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p}^{p} + \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p}^{p} \le \frac{1}{2}\| u \|_{p}^{p} + \frac{1}{2} \left\| v \right\|_{p}^{p} $$

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(2)

$2 \le p <\infty$と仮定しよう。すると$1<p^{\prime}\le 2$であり、$1\le p$である。上で整理した結果を使って計算すると

$$ \begin{align*} \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}}+\left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}} =&\ \left\| \ \left| \frac{u+v}{2}\right|^{p^{\prime}} \right\|_{p-1}+\left\| \ \left| \frac{u-v}{2}\right|^{p^{\prime}} \right\|_{p-1} \\ \ge& \left\| \ \left|\frac{u+v}{2}\right|^{p^{\prime}} + \left| \frac{u-v}{2}\right|^{p^{\prime}} \right\|_{p-1} \\ =&\ \left( \int_{\Omega} \left| \ \left|\frac{u+v}{2}\right|^{p^{\prime}} + \left| \frac{u-v}{2}\right|^{p^{\prime}} \right|^{p-1} dx \right)^{\frac{1}{p-1}} \\ \ge& \left( \int_{\Omega} \left( \frac{1}{2} \left| u \right|^{p} + \frac{1}{2}\left| v \right|^{p} \right) dx \right)^{\frac{1}{p-1}} \\ =&\ \left( \frac{1}{2}\int_{\Omega} \left| u \right|^{p} dx + \frac{1}{2} \int_{\Omega} \left| v \right|^{p} dx \right)^{\frac{1}{p-1}} \\ =&\ \left( \frac{1}{2} \left\| u \right\|_{p}^{p} + \frac{1}{2} \left\| v \right\|_{p}^{p} \right)^{p^{\prime}-1} \end{align*} $$

一行目は$(6)$によって成立する。二行目は$1\le p-1$であるため、ミンコフスキーの不等式によって成立する。三行目は$p-1$ノルムの定義をそのまま使ったものである。四行目が成り立つことを示すためには、さらに計算が必要である。

• 追加計算 $1<p^{\prime}\le 2$であるため、$(7)$に$p=p^{\prime}$、$z=u+v$、$w=u-v$を代入すると

  $$ \left| u \right|^{p} + \left| v \right|^{p} \le \left( \frac{1}{2}|u+v|^{p^{\prime}} + \frac{1}{2}|u-v|^{p^{\prime}} \right)^{\frac{1}{p^{\prime}-1}} $$

  両辺に$\frac{1}{2}$を掛けると

  $$ \begin{align*} \frac{1}{2}\left| u \right|^{p} + \frac{1}{2}\left| v \right|^{p} \le& \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}|u+v|^{p^{\prime}} + \frac{1}{2}|u-v|^{p^{\prime}} \right)^{\frac{1}{p^{\prime}-1}} \\ =&\ \left(\frac{1}{2}\right)^{{p^{\prime}-1} \frac{1}{p^{\prime}-1}} \left( \frac{1}{2}|u+v|^{p^{\prime}} + \frac{1}{2}|u-v|^{p^{\prime}} \right)^{p-1} \\ =&\ \left(\frac{1}{2}\right)^{(p^{\prime}-1) (p-1)} \left( \frac{1}{2}|u+v|^{p^{\prime}} + \frac{1}{2}|u-v|^{p^{\prime}} \right)^{p-1} \\ =&\ \left(\frac{1}{2^{p^{\prime}}}|u+v|^{p^{\prime}} + \frac{1}{2^{p^{\prime}}}|u-v|^{p^{\prime}} \right)^{p-1} \\ =&\ \left(\frac{u+v}{2}|^{p^{\prime}} + |\frac{u-v}{2}|^{p^{\prime}} \right)^{p- 1} \end{align*} \quad \cdots (9) $$

  $(5)(e)$によって三行目が成り立つ。$(9)$によって四行目が成り立つ。整理してノルムの定義を使い、$(5)(e)$を使うと、最後の行が成り立つ。

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(4)

$1<p\le 2$としよう。

$$ \begin{align*} \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}}+\left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}} =&\ \left\| \ \left| \frac{u+v}{2}\right|^{p^{\prime}} \right\|_{p-1}+\left\| \ \left| \frac{u-v}{2}\right|^{p^{\prime}} \right\|_{p-1} \\ \le& \left\| \ \left|\frac{u+v}{2}\right|^{p^{\prime}} + \left| \frac{u-v}{2}\right|^{p^{\prime}} \right\|_{p-1} \\ =&\ \left( \int_{\Omega} \left|\ \left|\frac{u+v}{2}\right|^{p^{\prime}} + \left| \frac{u-v}{2}\right|^{p^{\prime}} \right|^{p-1} dx \right)^{\frac{1}{p-1}} \\ \le& \left( \int_{\Omega} \left| \left( \frac{1}{2} \left| u \right|^{p} + \frac{1}{2}\left| v \right|^{p}\right)^{\frac{1}{p-1}} \right|^{p-1} dx \right)^{\frac{1}{p-1}} \\ =&\ \left( \frac{1}{2}\int_{\Omega} \left| u \right|^{p} dx + \frac{1}{2} \int_{\Omega} \left| v \right|^{p} dx \right)^{p^{\prime}-1} \\ =&\ \left( \frac{1}{2} \left\| u \right\|_{p}^{p} + \frac{1}{2} \left\| v \right\|_{p}^{p} \right)^{p^{\prime}-1} \end{align*} $$

一行目は$(6)$によって成立する。二行目は$0<p-1\le 1$であるため、逆ミンコフスキーの不等式によって成立する。四行目は$(7)$によって成立する。ノルムの定義と$(5)(e)$を使うと、最後の行が成立する。

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