📂ルベーグ空間

Lp空間の線型汎関数

定義¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$を開集合としよう。$1 \le p \le \infty$であり、$p^{\prime}=\frac{p}{p-1}$としよう。各$v \in L^{p^{\prime}}(\Omega)$に対して、$L^p(\Omega)$空間上の線形汎関数$L_{v}\ :\ L^p(\Omega) \rightarrow \mathbb{C}$を下記のように定義する。

$$L_{v}(u) = \int_{\Omega} u(x)v(x)dx, \quad u\in L^p(\Omega)$$

定理

$L^p$空間上のノルムを$\| \cdot \|_{p}$と表記しよう。すると、ヘルダーの不等式により、下記の不等式が成り立つ。

$$\left\| L_{v}(u) \right\| \le \left\| u \right\|_{p} \left\| v \right\|_{p^{\prime}}$$

すると、$L_{v}$のノルムは下記の不等式を満たす。

$$\left\|L_{v}; (L^p)^{\ast} \right\| :=\sup \left\{ |L_{v}(u)| \ :\ \left\| u \right\|\le1 \right\} \le \left\| v \right\|_{p^{\prime}}$$

この時、$(L^p)^{\ast}$は$L^p$の双対であり、実際には等式が成り立つことが証明できる。

証明

• Case 1. $1<p\le \infty$

  $u(x)$を下記のようにしよう。

  $$u(x) =\begin{cases} |v(x)|^{p^{\prime}-2}\overline{v(x)} & \mathrm{if}\ v(x)\ne 0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}$$

  すると、$u(x)\in L^p$であることを下記のように示せる。

  $$\begin{align*} |u |_{p} =&\ \left( \int |u|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ =&\ \left( \int \left| |v(x)|^{p^{\prime}-2}\overline{v(x)} \right|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ =&\ \left( \int |v(x)|^{(p^{\prime}-1)p} dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ =&\ \left( \int |v(x)|^{p^{\prime}} dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ =&\ \left( \left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}}\right)^{\frac{1}{p}} \\ =&\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{\frac{p^{\prime}}{p}} < \infty \end{align*}$$

  $\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1$なので、適切に整理すると$pp^{\prime}-p=p^{\prime}$を得ることができる。これを使用すると、四番目の等式が成立する。また、$v\in L^{p^{\prime}}$なので、最後の不等式が成り立つ。$u \in L^p$なので、$L_{v}$に代入すると

  $$\begin{align*} L_{v}(u) =&\ \int u(x)v(x) dx \\ =&\ \int | v(x)|^{p^{\prime}-2}\overline{v(x)}v(x) dx \\ =&\ \int |v(x)|^{p^{\prime}} dx \\ =&\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}} \\ =&\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}-1} \\ =&\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{\frac{p^{\prime}}{p}} \\ =&\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}\ \left\| u \right\|_{p} \end{align*}$$

  $\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1$なので、適切に整理すると$\frac{p^{\prime}}{p}=p^{\prime}-1$を得ることができる。これを使用すると、六番目の等式が成立する。また、上で得た結果、$\left\| u \right\|_{p}=\left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{\frac{p^{\prime}}{p}}$を使用すると、最後の等式も成り立つ。したがって

  $$| L_{v}(u)| = \left\| u \right\|_{p} \left\| v \right\|_{p^{\prime}}, \quad | L_{v}; (L^p)^{\ast}|=\left\| v \right\|_{p^{\prime}}$$

• Case 2. $p=1$

  $p=1$であれば、$p^{\prime}=\infty$である。初めに、$\left\| v \right\|_{p^{\prime}}=\left\| v \right\|_{\infty}=0$の場合は、$u(x)=0$としよう。すると、等式が成立する。それ以外の場合は、$0 < \epsilon < \left\| v \right\|_{\infty}$としよう。また、$A$を、$0< \mu (A) < \infty$が成立する$\Omega$の可測な部分集合とし、$A$上で$|v(x)| \ge \left\| v \right\|_{\infty} -\epsilon$が成立するとしよう。今、$u(x)$を下記のようにしよう。

  $$u(x)= \begin{cases} \overline{v(x)}/|v(x)| & \mathrm{on}\ A \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}$$ すると、$u\in L^p=L^1$であることが確認できる。

  $$\begin{align*} \left\| u \right\|_{1} =&\ \int_{A} \left| \overline{v(x)}/|v(x)| \right| dx \\ =&\ \int_{A}dx= \mu (A) < \infty \end{align*}$$

  $u \in L^1$なので、$L_{v}$に代入すると

  $$\begin{align*} L_{v}(u) =&\ \int u(x)v(x)dx \\ =&\ \int |v| dx \\ \ge& \int (\left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon )dx \\ =&\ (\left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon)\int dx \\ =&\ (\left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon) \mu (A) \\ =&\ \left\| u \right\|_{1}\ ( \left\| v \right\|_{\infty} -\epsilon ) \end{align*}$$

  この時、$| L_{v}; (L^p)^{\ast}|=\sup \left\{ |L_{v}(u) |\ :\ \left\| u \right\|_{1} \le 1\right\}$なので、得られた$|L_{v}(u)| \ge \left\| u \right\|_{1}\ ( \left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon)$の両辺に$\sup\limits_{\left\| u \right\|\le 1}$を適用すると

  $$| L_{v};\ (L^p)^{\ast} | \le \left\| u \right\|_{1}\ ( \left\| v \right\|_\infty -\epsilon ) \le \left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon$$

  したがって

  $$\left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon \le | L_{v} | \le \left\| v \right\|_{\infty}$$

  そしてこれは任意の$\epsilon$に対して成り立つので、

  $$| L_{v}; (L^P)^{\ast}| =\left\| v \right\|_{\infty}$$

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