📂解析学

大学数学における数列の極限を新たに定義する理由

定義^{1 2}

$\mathbb{N}$ は自然数の集合を、$\mathbb{R}$ は実数の集合を意味する。

• 定義域が $\mathbb{N}$ である関数を数列と言う。

• 自然数の数列 $\left\{ n_{k} \right\}_{ k \in \mathbb{N}}$ に対して、$\left\{ x_{n_{k}} \right\}_{ k \in \mathbb{N}}$ を $\left\{ x_{n} \right\}_{ n \in \mathbb{N}}$ の部分数列^subsequenceという。

• 全ての $x \in \left\{ x_{n} \right\}_{ n \in \mathbb{N}}$ に対して $x \le M$ を満たす $M \in \mathbb{R}$ が存在するならば、$\left\{ x_{n} \right\}_{ n \in \mathbb{N}}$ は 上に有界、$m \le x$ を満たす $m \in \mathbb{R}$ が存在するならば 下に有界、上にも下にも有界ならば 有界^boundedという。

• $\left\{ x_{n } \right\}_{n = 1}^{\infty}$ が実数列だとしよう。全ての $\varepsilon > 0$ に対して $$n \ge N \implies | x_{n} - a | < \varepsilon$$ を満たす $N \in \mathbb{N}$ が存在するなら、$\left\{ x_{n } \right\}$ は $a \in \mathbb{R}$ に収束する^convergeといい、$\lim \limits_{n\to \ \infty}x_{n}=a$と表記される。

• $\left\{ x_{n } \right\}$が収束しない場合、発散する^divergeという。

  • 全ての $M \in \mathbb{R}$ に対して $n \ge N \implies x_{n} > M$を満たす $N \in \mathbb{N}$ が存在するなら $$\lim \limits_{n\to \infty} x_{n} = +\infty \quad \text{ or } \quad x_{n} \to +\infty$$ と表記される。

  • 全ての $M \in \mathbb{R}$ に対して $n \ge N \implies x_{n} < M$を満たす $N \in \mathbb{N}$ が存在するなら $$\lim \limits_{n\to \infty} x_{n} = -\infty \quad \text{ or } \quad x_{n} \to -\infty$$ と表記される。

説明

大学で初めて収束と発散の定義に触れると、一体矢印はどこへ行って、見えにくい$\varepsilon$、$M$、$N$が現れるのだろう。正直に言って、学びたくないだろう。学生の立場では、新しい極限の定義を知らないということが、極限の概念自体を知らないということではなく、中間試験さえ何とか乗り切れば、二度と見ることがないような気がするからだ。もちろん、愚かな考えだ。

高校時代を振り返ると、先生方も$n \to \infty$について述べるときには「無限に大きくなる」とか「無限大に送る」という表現を使っていたが、何となく数列を「動く何か」として扱うことに過剰に慎重だったような気がする。それは、先生方が学んだ人々だからだ。

直感ではなく厳密な定義を使用する理由は、実は厳密な定義の方が簡単だからである。SATなどで登場する「簡単な数列」では直感が速いが、「複雑な数列」を扱うには不十分であるため、厳密な定義が導入された。歴史的にも、イギリスの数学はニュートンを軸に大陸の数学を大きく先んじていたにもかかわらず、直感主義に固執したために学界の主導権を大陸に奪われた。

数列の収束について学ぶ際の最大の障害は、その本質的な難しさではなく、「わざわざ」「難しく」「再度」学ぶことから来る嫌悪感が大きい。たとえば、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {{n + 3} \over {2n}} = {{1} \over {2}}$のような簡単な問題を無理やり回りくどく解く時がそうである。

学ぶことが難しいというよりも、学びたくないというのが問題で、残念ながら、理解するのに苦労する学生たちにそれだけの価値がある数列を教えることは非常に困難な仕事だ。理解と共感を助けるために、次の2つの定理を紹介する。

定理

$\left\{ w_{n} \right\}, \left\{ x_{n} \right\}, \left\{ y_{n} \right\}$が実数列であり、$a \in \mathbb{R}$だとしよう。

• (a) サンドイッチ定理:

  $$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} = \lim_{n \to \infty} y_{n} = a$$

  が成立し、

  $$n \ge N_{0} \implies x_{n} \le w_{n} \le y_{n}$$

  を満たす$N_{0} \in \mathbb{N}$が存在するならば、

  $$\displaystyle \lim_{n \to \infty} w_{n} = a$$

• (b) 比較定理:

  $$n \ge N_{0} \implies x_{n} \le y_{n}$$

  を満たす$N_{0} \in \mathbb{N}$が存在するならば、

  $$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} \le \lim_{n \to \infty} y_{n}$$

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もちろん、サンドイッチ定理や比較定理は直観的に見ても明らかに成り立つものである。別に難しい事実ではない。でも、収束の新しい定義を拒否するあなたは、一体どうやってそれらを証明するのか？

これらの2つの定理は、高校レベルですでに証明なしに堂々と使用されていたが、実際には論理的な推論ではなく、常識的な推測を通じて受け入れられた仮説に過ぎなかった。人間の常識がどれほど頻繁に間違っているかを考えると、厳密な証明がなぜ必要か、少なくとも理工学の学生であれば納得できるだろう。

収束の定義に従えば、これらの定理の証明は難しくはないが、読者がこのような議論に初めて触れるという前提で、できるだけ詳細に示そうとする。証明を読むと、$N$の存在に一貫して執着していると感じられるかもしれないし、実際そうである。収束性を示す際には、$| x_{n} - a |$が$\varepsilon$より小さくなるような不等式を立てることが重要ではなく、式を満たす$N$の存在を示すことが優先される。

率直に言って、数列の収束性を示す際に、$\varepsilon$をどのように導いたかは関係ない。定義に従えば、$N$が存在するだけで収束するので、まずは$N$の存在に着目するべきである。これを理解していないと、問題で明らかに与えられている$N_{1}$や$N_{2}$を使わずに、もっともらしい不等式を並べて結局は論理的に崩壊した主張を提示してしまう。

証明

(a)

戦略: ぼんやりと無限大に送るのではなく、不等式で具体的に$n \ge N \implies| w_{n} - a | < \varepsilon$を満たす$N$の存在を示す。

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$\varepsilon > 0$とする。

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} = \lim_{n \to \infty} y_{n} = a$より、

$$n \ge N_{1} \implies | x_{n} - a | < \varepsilon$$

$$n \ge N_{2} \implies | y_{n} - a | < \varepsilon$$

を満たす$N_{1} , N_{2} \in \mathbb{N}$が存在する。必要な部分を要約すると、

$$n \ge N_{1} \implies a - \varepsilon < x_{n}$$

$$n \ge N_{2} \implies y_{n} < a + \varepsilon$$

一方で、▷eq59