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ホップ-ラックス公式がハミルトン-ヤコビ方程式を満たすことの証明 📂偏微分方程式

ホップ-ラックス公式がハミルトン-ヤコビ方程式を満たすことの証明

定理 1

ホップ-ラックスの公式

u(x,t)=min⁡y∈Rn{tL(x−yt)+g(y)} u(x,t) = \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left\{ tL\left( \dfrac{x-y}{t} \right) +g(y) \right\}

x∈Rnx \in \mathbb{R}^nとt>0t>0としよう。そして、ホップ-ラックスの公式によって定義されたuuが点(x,t)(x,t)で微分可能だとする。そうすると、uuはハミルトン-ヤコビ方程式を満たす。

ut(x,t)+H(Du(x,t))=0 u_{t}(x, t) + H\big( Du(x, t) \big) =0

証明

補助定理：ホップ-ラックスの公式の一般化

t>0t>0としよう。すると、任意のx∈Rnx \in \mathbb{R}^nと0<s<t0< s< tに対して次が成立する。

u(x,t)=min⁡y∈Rn{(t−s)L(x−yt−s)+u(y,s)} u(x, t) = \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left\{ (t-s) L \left( \dfrac{x-y}{t-s} \right) +u(y, s) \right\}

s=0s=0の時、ホップ-ラックスの公式と同じである。

  • Part 1.

    固定されたv∈Rnv \in \mathbb{R}^nとh>0h>0が与えられたとする。すると補助定理により次が成り立つ。

    u(x+hv,t+h)=min⁡y∈Rn{hL(x+hv−yh)+u(y,t)}≤hL(v)+u(x,t) \begin{align*} u(x+hv, t+h) &= \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left\{ hL\left( \dfrac{x+hv-y}{h} \right) +u(y, t) \right\} \\ & \le hL(v)+u(x, t) \end{align*}

    補助定理の公式でttの代わりにt+ht+hを、ssの代わりにttを入れたものだ。不等式が成立するのは、全てのy∈Rny \in \mathbb{R}^nに対して最小値なので、任意のxxをyyの場所に代入しても、その値は当然同じか大きいからである。右辺のuuを移項してhhで割ると、次を得る。

    u(x+hv,t+h)−u(x,t)h≤L(v) \dfrac{u(x+hv, t+h)-u(x, t)}{h} \le L(v)

    この時、左辺は以下の式に置き換えることができる。

    u((x,t)+h(v,1))−u(x,t)h \dfrac{ u\big( (x, t)+h(v, 1) \big) -u(x, t) }{h}

    微分するための形に変えたものだ。h+→0h^+ \rightarrow 0になる極限を取ると、次を得る。

    (v,1)⋅(Du(x,t),ut(x,t))≤L(v)  ⟹  v⋅Du(x,t)+ut(x,t)≤L(v)  ⟹  ut(x,t)+v⋅Du(x,t)−L(v)≤0 \begin{align} && (v, 1) \cdot \big( Du(x, t), u_{t}(x, t) \big) &\le L(v) \nonumber \\ \implies && v\cdot Du(x, t)+ u_{t}(x, t) &\le L(v) \nonumber \\ \implies && u_{t}(x, t) + v\cdot Du(x, t)- L(v) &\le 0 \label{eq1} \end{align}

    この時、上の式は全てのv∈Rnv \in \mathbb{R}^nに対して成り立ち、H(p)=L∗(p)=max⁡v∈Rn{p⋅v−L(v)}H(p)=L^{\ast}(p)=\max\limits_{v \in \mathbb{R}^n} \left\{ p\cdot v-L(v) \right\}なので、(eq1)\eqref{eq1}によって次が成り立つ。

    ut(x,t)+H(Du(x,t))=ut(x,t)+max⁡v∈Rn{v⋅Du(x,t)−L(v)}≤0 u_{t}(x, t) + H\big( Du(x, t) \big) = u_{t}(x, t)+\max_{v \in \mathbb{R}^n} \left\{ v \cdot Du(x, t)-L(v) \right\} \le 0

  • Part 2.

    ホップ-ラックスの公式によって、固定されたxx、ttに対して次を満たすz=zz,t∈Rnz=z_{z, t} \in \mathbb{R}^nが存在する。

    u(x,t)=tL(x−zt)+g(z) \begin{equation} u(x, t)=tL\left( \dfrac{x-z}{t} \right) + g(z) \label{eq2} \end{equation}

    全てのyyの中で最小値となるようなyyをzzとしたものだ。そして、固定された0<h<t0 < h <tがあるとし、s=t−hs=t-h、y=stx+(1−st)zy=\dfrac{s}{t}x+\left( 1-\dfrac{s}{t} \right)zとしよう。すると、以下の式が成り立つ。

    0<s<t,0<st<1,x−zt=y−zs \begin{equation} 0<s<t, \quad 0<\dfrac{s}{t}<1, \quad \dfrac{x-z}{t}=\dfrac{y-z}{s} \label{eq3} \end{equation}

    すると

    u(x,t)−u(y,s)≥tL(x−zt)+g(z)−[sL(y−zs)+g(z)]=(t−s)L(x−zt) \begin{align*} u(x, t)-u(y, s) & \ge tL\left( \dfrac{x-z}{t} \right) +g(z) -\left[ sL\left(\frac{y-z}{s}\right) + g(z) \right] \\ &= (t-s)L\left( \dfrac{x-z}{t} \right) \end{align*}

    最初の行は(eq2)\eqref{eq2}とホップ-ラックスの公式によって成り立ち、二番目の行は(eq3)\eqref{eq3}によって成り立つ。この時、s=t−hs=t-hなので、次が成り立つ。

    y=stx+(1−st)z=(1−ht)x+htz y=\dfrac{s}{t}x+\left( 1-\dfrac{s}{t} \right)z=\left( 1-\dfrac{h}{t}\right )x + \dfrac{h}{t}z

    従って、上の不等式は以下のようになる。

    u(x,t)−u(y,s)=u(x,t)−u((1−ht)x+htz,t−h)≥hL(x−zt)=(t−s)L(x−zt) \begin{align*} u(x, t)-u(y, s) &= u(x, t)-u\bigg( \left( 1-\dfrac{h}{t}\right )x + \dfrac{h}{t}z, t-h \bigg) \\ & \ge & hL\left(\dfrac{x-z}{t}\right) =(t-s)L\left( \dfrac{x-z}{t} \right) \end{align*}

    両辺をhhで割り、左辺の分子、分母に−1-1を掛けて微分するための形に整理すると、以下のようになる。

    u((x,t)−h(x−zt,1))−u(x,t)−h≥L(x−zt) \dfrac{ u\left( (x, t)-h\left( \dfrac{x-z}{t}, 1 \right) \right) - u(x, t) }{-h} \ge L\left(\dfrac{x-z}{t}\right)

    上の不等式にh→0+h \rightarrow 0^+の極限を取ると、以下のようになる。

    (x−zt,1)⋅(Du(x,t),ut(x,t))=x−zt⋅Du(x,t)+ut(x,t)≥L(x−zt)  ⟹  x−zt⋅Du(x,t)+ut(x,t)−L(x−zt)≥0 \begin{align} &&\left( \dfrac{x-z}{t}, 1 \right) \cdot \left( Du(x, t), u_{t}(x, t) \right) = \dfrac{x-z}{t}\cdot Du(x, t) + u_{t}(x, t) &\ge L\left( \dfrac{x-z}{t} \right) \nonumber \\ \implies && \dfrac{x-z}{t}\cdot Du(x, t) + u_{t}(x, t) - L\left( \dfrac{x-z}{t} \right) &\ge 0 \label{eq4} \end{align}

    従って、次が成り立つ。

    ut(x,t)+H(Du)=ut(x,t)+max⁡v∈Rn{v⋅Du(x,t)−L(v)}≥ut(x,t)+x−zt⋅Du(x,t)−L(x−zt)≥0 \begin{align*} u_{t}(x, t)+H(Du) &= u_{t}(x, t)+\max_{v \in \mathbb{R}^n} \left\{ v \cdot Du(x, t)-L(v) \right\} \\ &\ge u_{t}(x, t)+\dfrac{x-z}{t}\cdot Du(x, t)-L\left( \dfrac{x-z}{t} \right) \\ & \ge 0 \end{align*}

    二番目の行はv=x−ztv=\dfrac{x-z}{t}を選ぶと成り立ち、最後の行は(eq4)\eqref{eq4}によって成り立つ。

**Part 1.とPart 2.**により、次が成立する。

u(x,t)=min⁡y∈Rn{(t−s)L(x−yt−s)+u(y,s)} u(x, t) = \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left\{ (t-s) L \left( \dfrac{x-y}{t-s} \right) +u(y, s) \right\}

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  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p127-128 ↩︎