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ハミルトニアンとラグランジアンの凸双対性 📂偏微分方程式

ハミルトニアンとラグランジアンの凸双対性

定理1

ルジャンドル変換

  • LLは凸関数だ。
  • lim⁡∣v∣→∞L(v)∣v∣=+∞\lim \limits_{ |v|\to \infty} \dfrac{ L(v) }{ |v| }=+\infty

上記の条件を満たすラグランジアン L:Rn→RL : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}に対して、LLのルジャンドル変換 L∗:Rn→RL^{\ast} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}を次のように定義する。

L∗(p):=sup⁡v∈Rn(p⋅v−L(v))∀ p∈Rn L^{\ast} (p) := \sup \limits_{v \in \mathbb{R}^{n}} \big( p\cdot v -L(v) \big) \quad \forall \ p \in \mathbb{R}^{n}

ラグランジアン LLがルジャンドル変換が定義される条件を満たすとする。ハミルトニアン HHをLLのルジャンドル変換としよう。 H=L∗ H=L^{\ast}

すると、HH もルジャンドル変換が定義されるための2つの条件を満たし、L=H∗L=H^{\ast}が成り立つ。

  • (a) HHは凸関数だ。

    λH(v1)+(1−λ)H(v2)≤H(λv1+(1−λ)v2)∀ v1,v2∈Rn,∀ 0≤λ≤1 \lambda H(v_{1}) + (1-\lambda) H(v_{2}) \le H\big( \lambda v_{1} +(1-\lambda)v_{2} \big) \quad \forall\ v_{1},v_{2}\in \mathbb{R}^{n},\quad \forall\ 0\le \lambda \le 1

  • (b) lim⁡∣p∣→∞H(p)∣p∣=+∞\lim \limits_{ |p|\to \infty} \dfrac{ H(p) }{ |p| }=+\infty

  • (c) L=H∗L=H^{\ast}

逆も成り立つ。さらに、HHとLLがpp、v∈Rnv\in \mathbb{R}^{n}で微分可能であれば、以下の内容はすべて等価である。

  • p⋅v=L(v)+H(p)p\cdot v=L(v) + H(p)
  • p=DL(v)p=DL(v)
  • v=DH(p)v=DH(p)

証明

(a)

p,q∈Rnp,q \in \mathbb{R}^{n}と0≤τ≤10 \le \tau \le 1とする。すると、次が成り立つ。

H(τp+(1−τ)q)=sup⁡v∈Rn((τp+(1−τ)q)⋅v−L(v))=sup⁡v∈Rn(τ(p⋅v−L(v))+(1−τ)(q⋅v−L(v)))≤τsup⁡v(p⋅v−L(v))+(1−τ)sup⁡v(q⋅v−L(v))=τH(p)+(1−τ)H(q) \begin{align*} H(\tau p+(1-\tau)q) &= \sup \limits_{v\in \mathbb{R}^{n}} \big( (\tau p + (1-\tau) q) \cdot v -L(v) \big) \\ &= \sup \limits_{v\in \mathbb{R}^{n}} \big( \tau ( p \cdot v -L(v) ) +(1-\tau)(q \cdot v -L(v)) \big) \\ &\le \tau \sup \limits_{v} (p\cdot v - L(v) ) +(1-\tau) \sup \limits_{v} (q\cdot v -L(v)) \\ &= \tau H(p) + (1-\tau)H(q) \end{align*}

第二の等号はτL(v)−τL(v)\tau L(v) -\tau L(v)を加えて整理すれば成り立つ。第三行はLLが凸関数であるため成り立つ。最後の等号はルジャンドル変換の定義とH=L∗H=L^{\ast}という仮定によって成り立つ。

■

(b)

任意の固定された正の数λ>0\lambda >0があるとする。そしてp≠0∈Rnp\ne 0 \in \mathbb{R}^{n}とする。すると、仮定により次が成り立つ。

H(p)=sup⁡v∈Rn(p⋅v−L(v)) H(p)= \sup \limits_{v \in \mathbb{R}^{n}}( p\cdot v - L(v))

この時、v=λp∣p∣v=\lambda \frac{p}{|p|}と置くと、sup⁡\supの定義により、上の式に任意のvvを代入しても、上の式以下であるため、次を得る。

H(p)=sup⁡v∈Rn(p⋅v−L(v))≥λ∣p∣−L(λp∣p∣)≥λ∣p∣−max⁡B(0,λ)L \begin{align*} H(p) &= \sup \limits_{v \in \mathbb{R}^{n}}( p\cdot v -L(v)) \\ &\ge \lambda |p| -L \left( \lambda \frac{p}{|p|} \right) \\ & \ge \lambda |p| - \max \limits_{B(0,\lambda)} L \end{align*}

両辺を∣p∣|p|で割ると、次のようになる。

H(p)∣p∣≥λ−max⁡L∣p∣ \dfrac{H(p)}{|p|} \ge \lambda - \dfrac{\max L}{ |p| }

これは、次の式が成立することを意味する。

lim inf⁡∣p∣→∞H(p)∣p∣≥λ \liminf \limits_{|p| \to \infty} \dfrac{ H(p) }{ |p| } \ge \lambda

上の式は任意のλ\lambdaに対して成立するので、次を得る。

lim inf⁡∣p∣→∞H(p)∣p∣=∞ \liminf \limits_{|p| \to \infty} \dfrac{ H(p) }{ |p| } = \infty

したがって、次のようになる。

lim⁡∣p∣→∞H(p)∣p∣=∞ \lim \limits_{|p| \to \infty} \dfrac{ H(p) }{ |p| } = \infty

■

(c)

H=L∗H=L^{\ast}とL∗=sup⁡(p⋅v−L(v))L^{\ast}=\sup (p \cdot v -L(v))で、どんなvvにも対してHHは常に大きいか等しい。

H(p)≥p⋅v−L(v)∀ v∈Rn H(p) \ge p \cdot v -L(v) \quad \forall \ v\in \mathbb{R}^{n}

HHとLLを交換すると、次を得る。

L(v)≥p⋅v−H(p)∀ v∈Rn L(v) \ge p \cdot v -H(p) \quad \forall \ v\in \mathbb{R}^{n}

両辺でp∈Rnp \in \mathbb{R}^{n}に対してsup⁡\supを適用すると、右辺はルジャンドル変換の定義によりH∗H^{\ast}となる。

L(v)≥sup⁡p∈Rn(p⋅v−H(p))=H∗(v) L(v) \ge \sup_{p \in \mathbb{R}^{n}} \big( p \cdot v -H(p) \big) =H^{\ast}(v)

これで、逆の不等式L(v)≤H∗(v)L(v) \le H^{\ast}(v)が成立することを示せば、証明は完成する。H∗H^{\ast}は定義により、次のようになる。

H∗(v)=sup⁡p∈Rn(p⋅v−H(p)) H^{\ast}(v)= \sup_{p \in \mathbb{R}^{n}} \big( p \cdot v-H(p)\big)

しかし、H=L∗H=L^{\ast}と仮定したので、次を得る。

H∗(v)=sup⁡p∈Rn(p⋅v−sup⁡r∈Rn(p⋅r−L(r)))=sup⁡pinf⁡r(p⋅(v−r)+L(r) ) \begin{equation} \begin{aligned} H^{\ast}(v) &= \sup_{p \in \mathbb{R}^{n}} \big( p \cdot v-\sup_{r \in \mathbb{R}^{n}}\big( p\cdot r - L(r) \big) \big) \\ &= \sup_{p} \inf_{r} \big( p\cdot(v-r) + L(r)\ \big) \end{aligned} \label{eq1} \end{equation}

補助定理

もし関数f:Rn→Rf : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}が凸であれば、全てのx∈Rnx \in \mathbb{R}^{n}に対して、次を満たすr∈Rnr \in \mathbb{R}^{n}が存在する。

f(y)≥f(x)+r⋅(y−x)∀ y∈Rn f(y) \ge f(x) + r\cdot(y-x) \quad \forall\ y\in \mathbb{R}^{n}

LLは凸であるため、補助定理により、全てのv∈Rnv \in \mathbb{R}^{n}に対して、次の条件を満たすs∈Rns \in \mathbb{R}^{n}が存在する。

L(r)≥L(v)+s⋅(r−v)∀ r∈Rn L(r) \ge L(v)+s\cdot(r-v) \quad \forall \ r\in \mathbb{R}^{n}

s⋅(r−v)s\cdot (r-v)を交換し、p=sp=sを代入すると、(eq1)\eqref{eq1}は次のようになる。

H∗(v)≥inf⁡r(s⋅(v−r))=L(v) H^{\ast}(v) \ge \inf_{r} \big( s\cdot (v-r) \big) =L(v)

したがって、H∗(v)≥L(v)H^{\ast}(v) \ge L(v)であり、H∗(v)=L(v)H^{\ast}(v)=L(v)である。

■

  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p121-122 ↩︎