logo

ルジャンドル変換 📂偏微分方程式

ルジャンドル変換

  • xやpについて、偏微分方程式の変数であることを強調するときは、通常の書体x,p∈Rnx,p \in \mathbb{R}^{n}で表記し、ssの関数であることを強調するときは、太字x,p∈Rn\mathbf{x}, \mathbf{p} \in \mathbb{R}^{n}で表記する。

定義 1

まず、シンプルにするために、ラグランジアンを変数v∈Rnv\in \mathbb{R}^{n}のみの関数としよう。

L(v)=L:Rn→R L(v) = L : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}

ラグランジアンLLが以下の二条件を満たすとする

  • （a）LLが凸関数であること。

    λL(v1)+(1−λ)L(v2)≤L(λv1+(1−λ)v2)∀ v1,v2∈Rn,∀ 0≤λ≤1 \lambda L(v_{1}) + (1-\lambda)L(v_{2}) \le L\big( \lambda v_{1} +(1-\lambda)v_{2} \big) \quad \forall\ v_{1},v_{2}\in \mathbb{R}^{n},\quad \forall\ 0\le \lambda \le 1

  • （b）lim⁡∣v∣→∞L(v)∣v∣=+∞\lim \limits_{ |v|\to \infty} \dfrac{ L(v) }{ |v| }=+\infty

それならば、LLのルジャンドル変換Legendre transformL∗:Rn→RL^{\ast} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}を以下のように定義する。

L∗(p):=sup⁡v∈Rn{p⋅v−L(v)}∀ p∈Rn L^{\ast} (p) := \sup \limits_{v \in \mathbb{R}^{n}} \left\{ p\cdot v -L(v) \right\} \quad \forall \ p \in \mathbb{R}^{n}

フェンシェル変換Fenchel transformとも呼ばれる。

説明

このとき、ppはハミルトニアンの変数p=DvL(x˙, x)\mathbf{p}= D_{v}L\big( \dot{\mathbf{x}},\ \mathbf{x}\big)と同じである。L∗L^{\ast}がうまく定義されていることは、以下のように証明できる。また、sup⁡\supと定義したが、実際にはmax⁡\maxと同じであることも示すことができる。

定理

ルジャンドル変換L∗(p)L^{\ast}(p)はうまく定義される。また、sup⁡{p⋅v−L(v)}=max⁡{p⋅v−L(v)}\sup \left\{ p\cdot v -L(v) \right\} = \max \left\{ p\cdot v -L(v) \right\}が成り立つ。

証明

うまく定義されていること

L∗(p)L^{\ast}(p)が実数値を持つことは、背理法で証明される。条件**（a）**によりLLが連続であることは明らか。そしてルジャンドル変換の定義(sup⁡)(\sup)により、−∞-\inftyを値として持つことはできない。

L∗(p)=sup⁡{p⋅v−L(v)}∈(−∞,∞] L^{\ast}(p) = \sup \left\{ p\cdot v -L(v) \right\} \in (-\infty, \infty]

これから、L∗(p)=∞L^{\ast}(p)=\inftyと仮定し、矛盾を示せば、実数値を持つことが証明される。

L∗(p)=∞L^{\ast}(p)=\inftyと仮定しよう。すると、以下の条件を満たす数列{vk}k=1∞\left\{ v_{k} \right\}_{k=1}^\inftyが存在する。

ak:=p⋅vk−L(vk)→∞as k→∞ \begin{equation} a_{k}:= p\cdot v_{k} -L(v_{k}) \to \infty \quad \text{as } k \to \infty \label{eq1} \end{equation}

そして、すべてのkkに対してvk≠0v_{k} \ne 0と仮定しよう。この仮定が成立する理由は、ak→∞a_{k} \to \inftyによりvk=0v_{k}=0のケースは多くても数個しかなく、それらを除いた部分数列を再びvkv_{k}とすることができるためである。今、{vk}\left\{ v_{k} \right\}が有界であるか無界であるかの二つの場合がある。どちらの場合も矛盾が生じることを示せば、証明が完了する。

  • ケース1. {vk}\left\{ v_{k} \right\}が有界の場合

    {vk}\left\{ v_{k} \right\}が有界であるため、何らかの点に収束する部分数列が存在し、これを再びvkv_{k}としよう。すると、以下のような{vk}\left\{ v_{k} \right\}が存在する。

    vk→v0as k→∞,for some v0∈Rn v_{k} \to v_{0} \quad \text{as } k \to \infty,\quad \mathrm{for\ some}\ v_{0}\in \mathbb{R}^{n}

    すると、LLが連続であるため、ak→p⋅v0−L(v0)∈Rnas k→∞a_{k} \to p \cdot v_{0} -L(v_{0}) \in \mathbb{R}^{n} \quad \text{as } k \to \inftyとなり、これは(eq1)\eqref{eq1}によって矛盾となる。

  • ケース2. {vk}\left\{ v_{k} \right\}が有界でない場合

    有界でないため、以下のように仮定できる。

    ∣vk∣→∞as k→∞ |v_{k}| \to \infty \quad \text{as } k \to \infty

    仮定により、∣vk∣≠0|v_{k}| \ne 0であるから、ak=p⋅vk−L(vk)a_{k}=p \cdot v_{k}-L(v_{k})の両辺を∣vk∣|v_{k}|で割ると以下のようになる。

    ak∣vk∣=p⋅vk∣vk∣−L(vk)∣vk∣ \dfrac{a_{k}}{|v_{k}|}=\dfrac{p\cdot v_{k}}{|v_{k}|}-\dfrac{L(v_{k})}{|v_{k}|}

    ここで、右辺の最初の項に対してコーシーシュワルツの不等式を適用すると、以下のようになる。

    ∣p⋅vk∣vk∣∣≤∣p∣∣vk∣vk∣∣=∣p∣ \left| \dfrac{p\cdot v_{k}}{|v_{k}|} \right| \le |p| \left| \dfrac{v_{k}}{|v_{k}|}\right| = | p |

    すると、k→∞k \to \inftyである極限を取れば、**（b）**により以下を得る。

    lim⁡∣vk∣→∞ak∣vk∣≤lim⁡∣vk∣→∞∣p∣−L(vk)∣vk∣=−∞ \lim \limits_{ |v_{k}|\to \infty} \dfrac{a_{k}}{|v_{k}|} \le \lim \limits_{ |v_{k}|\to \infty} |p| -\dfrac{L(v_{k})}{|v_{k}|} = -\infty この時、∣vk∣=∞|v_{k}|=\inftyの仮定により、aka_{k}はさらに速く−∞-\inftyに発散しなければならない。しかし、これは(eq1)\eqref{eq1}と矛盾する。

可能な二つのケースに対して、どちらも矛盾が生じるので、仮定L∗(p)=∞L^{\ast}(p)=\inftyが間違っていることがわかる。したがって、ルジャンドル変換はうまく定義されている。

L∗(p)∈R L^{\ast}(p) \in \mathbb{R}

■

sup⁡=max⁡\sup=\max

これは、以下の条件を満たすvp∈Rnv_{p} \in \mathbb{R}^{n}が存在することを示すことと同じである。

L∗(p)=p⋅vp−L(vp) L^{\ast}(p) = p\cdot v_{p}-L(v_{p})

まず、ルジャンドル変換の定義(sup⁡)(\sup)により、以下の条件を満たす数列{vk}\left\{ v_{k} \right\}が存在する。

ak:=p⋅vk−L(vk)→L∗(p)as k→∞ \begin{equation} a_{k} := p\cdot v_{k}-L(v_{k}) \to L^{\ast}(p) \quad \text{as } k \to \infty \label{eq2} \end{equation}

最初に、{vk}\left\{ v_{k} \right\}が有界でないと仮定してみよう。すると∣vk∣→∞|v_{k}| \to \inftyであり、上で示したように、ak→−∞a_{k} \to -\inftyとなりこれは矛盾である。したがって、{vk}\left\{ v_{k} \right\}は有界である。{vk}\left\{ v_{k} \right\}が有界であるため、vk→vpv_{k} \to v_{p}に収束する部分数列が存在する。したがって、次が成り立つ。

p⋅vk−L(vk)→p⋅vp−L(vp)as k→∞ p\cdot v_{k} - L(v_{k}) \to p \cdot v_{p} -L(v_{p}) \quad \text{as } k \to \infty

しかし、(eq2)\eqref{eq2}からp⋅vk−L(vk)→L∗(p)p\cdot v_{k}-L(v_{k}) \to L^{\ast}(p)であったため、次が成り立つ。

p⋅vp−L(vp)=L∗(p) p \cdot v_{p} -L(v_{p})=L^{\ast}(p)

■

  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (第2版, 2010), p120 ↩︎