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ラドン逆変換

f(x,y)=12B{F−1[∣S∣F(Rf)(S, θ)]>}(x,y) f(x,y)=\dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left\{ \mathcal{F}^{-1} \Big[ |S|\mathcal{F} (\mathcal{R}f) (S,\ \theta) \Big]> \right\} (x,y)

この公式はffのラドン変換Rf\mathcal{R}fからffを求める公式だ。まず、フーリエ変換の性質を思い出してみよう。

F[f′](ξ)=iξF(ξ) \mathcal{F} [f^{\prime} ] (\xi) = i\xi \mathcal{F}(\xi)

ここで、ffの代わりにRf\mathcal{R}fを代入すると、次を得る。

F(∂(Rf)(t, θ)∂t)(S, θ)=iSF(Rf)(S, θ) \begin{equation} \mathcal{F} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f)(t,\ \theta) } {\partial t} \right) (S,\ \theta) = i S \mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta) \label{eq1} \end{equation}

そして、∣S∣=S⋅sgn(S)|S|=S\cdot \mathrm{sgn}(S)として表そう。sgn\mathrm{sgn}は符号関数だ。

sgn(S):={1S>00S=0−1S<0 \mathrm{sgn}(S):=\begin{cases} 1 & S>0 \\ 0 & S=0 \\ -1 & S<0 \end{cases}

すると(eq1)\eqref{eq1}は、次のようになる。

F(∂(Rf)(t, θ)∂t)(S, θ)=i∣S∣sgn(S)F(Rf)(S, θ) \mathcal{F} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f)(t,\ \theta) } {\partial t} \right) (S,\ \theta) = i \dfrac{|S|}{\mathrm{sgn}(S)} \mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta)

両辺にi⋅sgn(S)i \cdot \mathrm{sgn}(S)を掛けると、次を得る。

i⋅sgn(S)F(∂(Rf)(t, θ)∂t)(S, θ)=−∣S∣F(Rf)(S, θ) i \cdot \mathrm{sgn}(S)\mathcal{F} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f)(t,\ \theta) } {\partial t} \right) (S,\ \theta) =- |S|\mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta)

上の式の右辺はラドン逆変換で現れる。だから、それを代入すれば次を得る。

f(x,y)=−12B{F−1[i⋅sgn(S)F(∂(Rf)(t, θ)∂t)(S, θ)]}(x,y) f(x,y)=-\dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left\{ \mathcal{F}^{-1} \Big[ i \cdot \mathrm{sgn}(S)\mathcal{F} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f)(t,\ \theta) } {\partial t} \right) (S,\ \theta) \Big]\right\} (x,y)

定義

g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R}に対して、ggのヒルベルト変換Hilbert transformHg\mathcal{H}gを次のように定義する。

Hg(t):=F−1[i⋅sgn(S)⋅Fg(ξ)](t) \mathcal{H} g(t) :=\mathcal{F}^{-1} \big[i \cdot \mathrm{sgn} (S) \cdot \mathcal{F}g(\xi) \big] (t)

ヒルベルト変換でラドン逆変換を表すと、次のようになる。

f(x,y)=−12B[H(∂(Rf)(t, θ)∂t)(S, θ)](x,y) f(x,y)=-\dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left[ \mathcal{H} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f) (t,\ \theta)}{\partial t} \right) (S,\ \theta) \right] (x,y)