ヒルベルト変換
ビルドアップ
$$ f(x,y)=\dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left\{ \mathcal{F}^{-1} \Big[ |S|\mathcal{F} (\mathcal{R}f) (S,\ \theta) \Big]> \right\} (x,y) $$
この公式は$f$のラドン変換$\mathcal{R}f$から$f$を求める公式だ。まず、フーリエ変換の性質を思い出してみよう。
$$ \mathcal{F} [f^{\prime} ] (\xi) = i\xi \mathcal{F}(\xi) $$
ここで、$f$の代わりに$\mathcal{R}f$を代入すると、次を得る。
$$ \begin{equation} \mathcal{F} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f)(t,\ \theta) } {\partial t} \right) (S,\ \theta) = i S \mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta) \label{eq1} \end{equation} $$
そして、$|S|=S\cdot \mathrm{sgn}(S)$として表そう。$\mathrm{sgn}$は符号関数だ。
$$ \mathrm{sgn}(S):=\begin{cases} 1 & S>0 \\ 0 & S=0 \\ -1 & S<0 \end{cases} $$
すると$\eqref{eq1}$は、次のようになる。
$$ \mathcal{F} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f)(t,\ \theta) } {\partial t} \right) (S,\ \theta) = i \dfrac{|S|}{\mathrm{sgn}(S)} \mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta) $$
両辺に$i \cdot \mathrm{sgn}(S)$を掛けると、次を得る。
$$ i \cdot \mathrm{sgn}(S)\mathcal{F} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f)(t,\ \theta) } {\partial t} \right) (S,\ \theta) =- |S|\mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta) $$
上の式の右辺はラドン逆変換で現れる。だから、それを代入すれば次を得る。
$$ f(x,y)=-\dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left\{ \mathcal{F}^{-1} \Big[ i \cdot \mathrm{sgn}(S)\mathcal{F} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f)(t,\ \theta) } {\partial t} \right) (S,\ \theta) \Big]\right\} (x,y) $$
定義
$g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$に対して、$g$のヒルベルト変換Hilbert transform$\mathcal{H}g$を次のように定義する。
$$ \mathcal{H} g(t) :=\mathcal{F}^{-1} \big[i \cdot \mathrm{sgn} (S) \cdot \mathcal{F}g(\xi) \big] (t) $$
ヒルベルト変換でラドン逆変換を表すと、次のようになる。
$$ f(x,y)=-\dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left[ \mathcal{H} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f) (t,\ \theta)}{\partial t} \right) (S,\ \theta) \right] (x,y) $$