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バックプロジェクション：ラドン変換のデュアル 📂トモグラフィ

バックプロジェクション：ラドン変換のデュアル

定義1 2

Radon変換 R:L2(Rn)→L2(Zn)\mathcal{R} : L^{2}(\mathbb{R}^{n}) \to L^{2}(Z_{n})のデュアルオペレーター R#:L2(Zn)→L2(Rn)\mathcal{R}^{\#} : L^{2}(Z_{n}) \to L^{2}(\mathbb{R}^{n})をバックプロジェクションback projection, 背景投影という。

⟨Rf,g⟩L2(Zn)=⟨f,R#g⟩L2(Rn) \left\langle \mathcal{R}f ,g \right\rangle_{L^{2}(Z_{n})} = \left\langle f , \mathcal{R}^{\#}g \right\rangle_{L^{2}(\mathbb{R}^{n})}

ここで Zn:=R1×Sn−1Z_{n} := \mathbb{R}^{1} \times S^{n-1}はRn+1\mathbb{R}^{n+1}のユニットシリンダーだ。

定理

式

バックプロジェクションは具体的に以下の通りだ。

R#g(x)=∫Sn−1g(x⋅θ,θ)dθ \mathcal{R}^{\#} g (\mathbf{x}) = \int_{S^{n-1}} g (\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta}

特に二次元では、

R#g(x,y)=∫02πg(xcos⁡θ+ysin⁡θ,θ)dθ \mathcal{R}^{\#} g (x,y) = \int_{0}^{2\pi} g (x\cos\theta + y\sin\theta, \theta) d\theta

Radon変換のバックプロジェクション

次の式が成立する。

R#Rf=∣Sn−2∣1∣x∣∗f \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f = \left| S^{n-2} \right| \dfrac{1}{\left| \mathbf{x} \right|} \ast f

ここで ∗\astはコンボリューション、∣Sn−1∣\left| S^{n-1} \right|はnn次元の球の表面積である。特に二次元では、

R#Rf=2∣x∣∗f \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f = \dfrac{2}{\left| \mathbf{x} \right|} \ast f

説明

バックプロジェクションはRadon変換のデュアルなので、Radon逆変換の候補として考えられる。しかしRadon変換はユニタリーではないので、以下が成立しない。

R−1≠R# \mathcal{R}^{-1} \ne \mathcal{R}^{\#}

二番目の定理を見ると、R#Rf\mathcal{R}^{\#}\mathcal{R}fはffに似ているが、同じではないことがわかる。実際に計算してみると、元の画像をブラー（blur）処理したように見える。

슬라이드6.PNG

したがって、ffを正確に得るためには、フィルターの役割をする別のオペレーターを通過しなければならず、このようなRadon逆変換をfiltered back projectionという。

幾何学的意味と視覚化

理解のために、2次元を考えよう。Radon変換のバックプロジェクションは以下の通りだ。

R#Rf(x)= ∫02πRf(x⋅θ,θ)dθ,θ=(cos⁡θ,sin⁡θ) \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x}) =\ \int_{0}^{2\pi} \mathcal{R}f(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \theta) d \theta ,\quad \boldsymbol{\theta} = (\cos \theta, \sin \theta)

ここでRf(x⋅θ,θ)\mathcal{R}f(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \theta)は、ffを原点からx⋅θ\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}だけ離れており、θ\boldsymbol{\theta}に垂直な線lx⋅θ,θl_{\mathbf{x}\cdot \boldsymbol{\theta}, \theta}に沿って線積分したものである。この線はθ\thetaに垂直な角度で点x\mathbf{x}を通る線である。

그림4.png

しかし、バックプロジェクションは、値Rf(x⋅θ,θ)\mathcal{R}f(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \theta)を全てのθ∈[0,2π)\theta \in [0,2\pi)に対して足し合わせる（積分する）ので、R#Rf(x)\mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x})は点x\mathbf{x}を通る全ての線に対するffの線積分の平均（2π2\piで割る）となる。

그림5.png

以下の画像は、R#Rf(x)\mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x})を計算する際に、Rf(x⋅θ,θ)\mathcal{R}f(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \theta)の値をθ=0\theta = 0から累積して足していく過程を示している。

証明

式

⟨Rf,g⟩L2(Zn)= ∫R∫Sn−1Rf(s,θ)g(s,θ)dθds= ∫R∫Sn−1∫Rf(sθ+tθ⊥)dtg(s,θ)dθds= ∫R∫R∫Sn−1f(sθ+tθ⊥)g(s,θ)dθdsdt \begin{align*} \left\langle \mathcal{R}f ,g \right\rangle_{L^{2}(Z_{n})} =&\ \int_{\mathbb{R}}\int_{S^{n-1}} \mathcal{R}f(s, \boldsymbol{\theta}) g(s, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} ds \\ =&\ \int_{\mathbb{R}}\int_{S^{n-1}} \int_{\mathbb{R}}f(s\boldsymbol{\theta} + t\boldsymbol{\theta}^{\perp})dt g(s, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} ds \\ =&\ \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} \int_{S^{n-1}} f(s\boldsymbol{\theta} + t\boldsymbol{\theta}^{\perp}) g(s, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} ds dt \end{align*}

sθ+tθ⊥=xs \boldsymbol{\theta} + t \boldsymbol{\theta}^{\perp} = \mathbf{x}で置き換えると、s=x⋅θs = \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}となり、次が成立する。

⟨Rf,g⟩L2(Zn)= ∫Rn∫Sn−1f(x)g(x⋅θ,θ)dθdx= ∫Rnf(x)(∫Sn−1g(x⋅θ,θ)dθ)dx= ⟨f,(∫Sn−1g(⟨⋅,θ⟩,θ)dθ)⟩L2(Rn) \begin{align*} \left\langle \mathcal{R}f ,g \right\rangle_{L^{2}(Z_{n})} =&\ \int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{S^{n-1}} f(\mathbf{x}) g(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} d \mathbf{x} \\ =&\ \int_{\mathbb{R}^{n}} f(\mathbf{x}) \left( \int_{S^{n-1}} g(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} \right) d \mathbf{x} \\ =&\ \left\langle f, \left( \int_{S^{n-1}} g(\left\langle \cdot, \boldsymbol{\theta} \right\rangle, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} \right) \right\rangle_{L^{2}(\mathbb{R}^{n})} \end{align*}

したがって、

R#g(x)=∫Sn−1g(x⋅θ,θ)dθ \mathcal{R}^{\#} g (\mathbf{x}) = \int_{S^{n-1}} g (\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta}

■

Radon変換のバックプロジェクション3

R#Rf(x)= ∫Sn−1Rf(x⋅θ,θ)dθ= ∫Sn−1∫y⋅θ=0f((x⋅θ)θ+y)dydθ \begin{align*} \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x}) =&\ \int\limits_{S^{n-1}} \mathcal{R}f(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}) d \boldsymbol{\theta} \\ =&\ \int\limits_{S^{n-1}} \int\limits_{\mathbf{y} \cdot \boldsymbol{\theta} = 0} f\big((\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta})\boldsymbol{\theta} + \mathbf{y} \big) d \mathbf{y} d \boldsymbol{\theta} \\ \end{align*}

ここで(x⋅θ)θ=x−(x⋅θ⊥)θ⊥(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta})\boldsymbol{\theta} = \mathbf{x} - (\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}^{\perp})\boldsymbol{\theta}^{\perp}で、二番目の項はy⋅θ=0\mathbf{y} \cdot \boldsymbol{\theta} = 0のy\mathbf{y}に含まれているので、上の積分は次の通りである。

R#Rf(x)= ∫Sn−1∫y⋅θ=0f(x+y)dydθ \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x}) =\ \int\limits_{S^{n-1}} \int\limits_{\mathbf{y} \cdot \boldsymbol{\theta} = 0} f(\mathbf{x} + \mathbf{y} ) d \mathbf{y} d \boldsymbol{\theta}

補助定理

∫Sn−1∫y⋅θ=0f(x+y)dydθ=∣Sn−2∣∫Rnf(y)∣x−y∣dy \int \limits_{S^{n-1}} \int \limits_{\mathbf{y} \cdot \boldsymbol{\theta} = 0} f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) d \mathbf{y} d \boldsymbol{\theta} = \left| S^{n-2} \right| \int \limits_{\mathbb{R}^{n}} \dfrac{f(\mathbf{y})}{\left| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right|}d \mathbf{y}

それにより、補助定理により、

R#Rf(x)=∣Sn−2∣∫Rnf(y)∣x−y∣dy=∣Sn−2∣1∣x∣∗f \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x}) = \left| S^{n-2} \right| \int \limits_{\mathbb{R}^{n}} \dfrac{f(\mathbf{y})}{\left| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right|}d \mathbf{y} = \left| S^{n-2} \right| \dfrac{1}{\left| \mathbf{x} \right|} \ast f

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  1. Frank Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography (2001), p13 ↩︎

  2. Peter Kuchment, The Radon Transform and Medical Imaging (2014), p34-36 ↩︎

  3. Frank Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography (2001), p15-16 ↩︎