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関数の級数 📂解析学

関数の級数

定義

関数列{fn:E→R}n=1∞\left\{ f_{n} : E \to \mathbb{R} \right\}_{n=1}^{\infty}を定めよう。

(1) ∑k=1nfk(X)\displaystyle \sum_{k=1}^{n} f_{k} (X)がn→∞n \to \inftyの時、∑k=1∞fk\displaystyle \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k}の級数がEEで逐点収束するなら∑k=1∞fk\displaystyle \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k}の級数はEEで逐点収束すると言う。

(2) ∑k=1nfk(X)\displaystyle \sum_{k=1}^{n} f_{k} (X)がn→∞n \to \inftyの時、∑k=1∞fk\displaystyle \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k}の級数がEEで一様収束するなら∑k=1∞fk\displaystyle \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k}の級数はEEで一様収束すると言う。

(3) ∑k=1n∣fk(x)∣\displaystyle \sum_{k=1}^{n} | f_{k} (x) |がn→∞n \to \inftyの時、∑k=1∞fk\displaystyle \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k}の級数がEEで逐点収束するなら∑k=1∞fk\displaystyle \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k}の級数はEEで絶対収束すると言う。

説明

関数の列を話したなら、級数を話さないわけにはいかない。ただの関数列の収束とは異なり、絶対収束まで考える点が違う。

定理

EEでF:=∑k=1∞fk\displaystyle F := \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k}が一様収束するとしよう。

(1) 連続性: fnf_{n}がx0∈Ex_{0} \in Eで連続ならFFもx0∈Ex_{0} \in Eで連続である。

(2) 微分可能性: fnf_{n}がE=(a,b)E = (a,b)で微分可能であり、∑k=1∞fn′\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{n} ' がEEで一様収束する場合、F\displaystyle F もEEで微分可能である。

ddx∑k=1∞fn(x)=∑k=1∞ddxfn(x) {{ d } \over { dx }} \sum_{k=1}^{\infty} f_{n} (x) = \sum_{k=1}^{\infty} {{ d } \over { dx }} f_{n} (x)

(3) 積分可能性: fnf_{n}がE=[a,b]E = [a,b]で積分可能なら、FFもEEで積分可能である。

lim⁡n→∞∫abfn(x)dx=∫ab(lim⁡n→∞fn(x))dx \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) dx = \int_{a}^{b} \left( \lim_{n \to \infty} f_{n} (x) \right) dx

(4) バイエルシュトラスのM判定法:

関数列{fn}\left\{ f_{n} \right\}とx∈Ex \in Eについて、∣fn(z)∣≤Mn|f_{n}(z)| \le M_{n}を満たす正の数列MnM_{n}が存在し、∑n=1∞Mn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_{n}が収束する場合、∑n=1∞fn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}はEEで絶対収束および一様収束する。

(5) ディリクレの判定法:

関数列　　　{fk}\left\{ f_{k} \right\}、{gk}\left\{ g_{k} \right\}とn∈Nn \in \mathbb{N}、x∈Ex \in Eにおいて、∣∑k=1nfk(x)∣≤M<∞\displaystyle \left| \sum_{k=1}^{n} f_{k} (x) \right| \le M < \inftyを満たす正の数MMが存在しgkg_{k}がEEでg=0g = 0に一様収束する場合、∑k=1∞fkgk\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} g_{k}もEEで一様収束する。