ラゲール多項式

定義

$\displaystyle L_{n} := {{ e^{x} } \over { n! }} {{ d^{n} } \over { dx^{n} }} \left( e^{-x} x^{n} \right)$ を ラゲール多項式^{laguerre Polynomial}という。

基本性質

再帰公式

[0]: $$L_{n+1} (x) = {{ 1 } \over { n+1 }} \left[ \left( 2n + 1 - x \right) L_{n} (x) - n L_{n-1} (x) \right]$$

直交集合

[1] 関数の内積: $\displaystyle \left<f, g\right>:=\int_a^b f(x) g(x) w(x) dx$ に対して重み$w$ を $\displaystyle w(x) := e^{-x}$ とすると、$\left\{ L_{0} , L_{1}, L_{2}, \cdots \right\}$ は直交集合になる。

説明

$n = 0, \cdots , 3$ に対するラゲール多項式は以下のように表される。 $$ \begin{align*} L_{0} (x) =& 1 \\ L_{1} (x) =& -x + 1 \\ L_{2} (x) =& {{1} \over {2}} \left( x^{2} - 4x + 2 \right) \\ L_{3} (x) =& {{1} \over {6}} \left( - x^{3} + 9 x^2 -18x + 6 \right) \end{align*} $$ ラゲール多項式は ラゲールの微分方程式 $xy’’ + (1-x) y ' + ny = 0$ の解としても定義される。

$L_{n} ( x_{k} ) = 0$ を満たす ラゲールの節 $x_{k}$ のクローズドフォームは残念ながら知られておらず、現在も数値的に計算されている。注目すべき点として、[1]で $\left\{ L_{0} , L_{1}, L_{2}, \cdots \right\}$ は直交集合であるだけでなく、実際には正規直交集合である。