関数列の一様収束
定義
$\mathbb{R}$ の部分集合 $E \ne \emptyset$、関数 $f : E \to \mathbb{R}$ および関数列 $\left\{ f_{n} : E \to \mathbb{R} \right\}_{n=1}^{\infty}$ を定義しよう。全ての $\varepsilon > 0$ に対し、$n \ge N \implies | f_{n} (x) - f(x) | < \varepsilon$ を満たす $N \in \mathbb{N}$ が存在するならば、$E$ において $f_{n}$ は $f$ に一様収束uniformly convergenceすると言い、以下のように示される。
$$ f_n \rightrightarrows f $$
または
$$ f_{n} \overset{\text{unif}}{\to} f $$
または
$$ f_{n} \to f \quad \text{uniformly} $$
説明
関数列 $f_{n}$ が実際に 関数 $f$ に収束するかまで気にする一様収束は、関数値が収束することだけを気にする点収束と違う概念である。一様収束する関数列はより強い条件がついて、それだけ多くの性質を持つ。
逆に言えば、数学者たちが研究するために最低限「これくらいはあるべきだ」と考える常識的な性質を持たせるために強い条件を与えたのが一様収束である。点収束する関数列と違い、一様収束する関数列では次のように $f_{n}$ の性質が $f$ まで保持される。
定理
$E$ において $f_{n}$ が $f$ に一様収束するとしよう。
(a) 連続性: $f_{n}$ が $x_{0} \in E$ で連続なら、$f$ も $x_{0} \in E$ で連続である。
(b) 微分可能性: $f_{n}$ が $E = (a,b)$ で微分可能であり、$f_{n} ' $ が $E$ で一様収束するなら、$f$ も $E$ で微分可能で、
$$ \lim_{n \to \infty} {{ d } \over { dx }} f_{n} (x) = {{ d } \over { dx }} \left( \lim_{n \to \infty} f_{n} (x) \right) $$
(c) 積分可能性: $f_{n}$ が $E = [a,b]$ で積分可能なら、$f$ も $E$ で積分可能で、
$$ \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) dx = \int_{a}^{b} \left( \lim_{n \to \infty} f_{n} (x) \right) dx $$
$\int_{a}^{b}$ と $\displaystyle {{ d } \over { dx }}$ が $\displaystyle \lim_{n \to \infty}$ を自由に移動できることは非常に望ましい性質だ。なぜそれが良いのかと問われれば、その問い自体が答えであるようなものだ。数学以外の分野では、関数列が現れても一様収束のような概念を考慮せず当たり前のように一様数列の性質を使うケースが結構あるが、もし一様収束性がなくなってそのような操作を使えなくなると、地獄のような状況が展開されるだろう。