円周率が無理数であることの証明
定理
$$\pi \notin \mathbb{Q}$$
$\mathbb{Q}$ は有理数の集合を表す。
証明
ストラテジー: 整数が密集していないという事実を利用する。関数 $f$、$F$ を非常に巧妙に定義して、色々なトリックを使う。この方法はイヴァン・ニーヴンによって考案されたもので、$\pi$ が無理数であることを示す証明の中では最も簡単だが、残念ながらイプシロン-デルタ論法が使用されるため、飛躍なしには高校の教育課程内で証明することはできない。
$\mathbb{N}$ は自然数の集合、$\mathbb{Z}$ は整数の集合を表す。
パート1. $f^{(j)} (0), f^{(j)} (\pi) \in \mathbb{Z}$
$\pi \in \mathbb{Q}$ と仮定すると、π $\pi$ は相互素なある $a,b \in \mathbb{N}$ について$\pi = {{ a } \over {b}}$のように表されなければならない。これについて、関数 $f$ を次のように定義しよう。
$$ f(x) := {{ x^{n} ( a - bx )^{n} } \over { n! }} $$ すると$f(x)$ は$n$ より低い次数の項を持たず、$a, b, n \in \mathbb{N}$ なので、二項定理により$n! f(x)$ のすべての項の係数は整数である。従って、$x = 0$ ならば、すべての$j = 0, 1, 2, \cdots$ に対して
$$ f^{(j)} (0) \in \mathbb{Z} $$
一方で$f(x) = f \left( {{ a } \over { b }} - x \right) = f( \pi - x)$ なので
$$ f^{(j)} (\pi) \in \mathbb{Z} $$
パート2. $\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx \in \mathbb{Z}$
$$ F(x) := \sum_{j=0}^{n} ( -1 )^{j} f^{(2j)} (x) = f(x) - f ''(x) + f^{(4)} (x) - \cdots + (-1)^{n} f^{(2n)} (x) $$
$f$ に対する新しい関数$F$ を上記のように定義すると
$$ \begin{align*} {{ d } \over { dx }} \left[ F ' (x) \sin x - F(x) \cos x \right] =& F’’(x) \sin x + F(x) \sin x \\ =& \left[ - \sum_{j=1}^{n} ( -1 )^{j} f^{(2j)} (x) + \sum_{j=0}^{n} ( -1 )^{j} f^{(2j)} (x) \right] \sin x \\ =& f(x) \sin x \end{align*} $$
逆に$f(x) \sin x$ を$[0,\pi]$ から積分してみると
$$ \begin{align*} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx =& \left[ F ' (x) \sin x - F(x) \cos x \right]_{0}^{\pi} \\ =& F( \pi ) + F( 0 ) \end{align*} $$
しかしパート1で$f^{(j)} (0), f^{(j)} (\pi) \in \mathbb{Z}$ だったので$F(0), F(\pi) \in \mathbb{Z}$ であり
$$ \left( F( 0 ) + F(\pi) \right) \in \mathbb{Z} $$
パート3. $\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx \in \mathbb{N}$
$0 < x < \pi$ とすると
$$ \begin{align*} f(x) =& {{ x^{n} ( a - bx )^{n} } \over { n! }} \\ =& {{ b^{n} x^{n} \left( {{ a } \over { b }} - x \right)^{n} } \over { n! }} \\ =& {{ b^{n} x^{n} \left( \pi - x \right)^{n} } \over { n! }} \end{align*} $$
従って$f(x) > 0$ であり、$\sin x > 0$ なので
$$ 0 < f(x) \sin x $$
ゆえに**パート2.**の$\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx \in \mathbb{Z}$ は実際には
$$ \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx \in \mathbb{N} $$
パート4. $0 < f(x) \sin x < {{ \pi^{n} a^{n} } \over { n! }}$
$f$ を微分すると $$ \begin{align*} f '(x) =& {{ n x^{n-1} ( a - bx )^{n} } \over { n! }} - {{ b n x^{n} ( a - bx )^{n-1} } \over { n! }} \\ =& {{ x^{n-1} ( a - bx )^{n-1} } \over { (n-1) ! }} \left[ (a-bx) - bx \right] \\ =& 2b {{ x^{n-1} ( a - bx )^{n-1} } \over { (n-1) ! }} \left[ {{ \pi } \over {2}} - x \right] \end{align*} $$ なので$f$ は$x = {{\pi} \over {2}}$ で最大値を取る。直接代入して計算すると $$ \begin{align*} f(x) \le & {{ b^{n} } \over { n! }} \left( {{\pi} \over {2}} \right)^{n} \left( {{\pi} \over {2}} \right)^{n} \\ =& {{ a^{n} } \over { n! }} \left( {{1} \over {2}} \right)^{n} \left( {{\pi} \over {2}} \right)^{n} \\ =& {{ a^{n} } \over { n! }} \left( {{\pi} \over {4}} \right)^{n} \\ <& {{ a^{n} \pi^{n} } \over { n! }} \end{align*} $$ もちろん$0 < x < \pi$ から$| \sin x | \le 1$ なので、すべての$n \in \mathbb{N}$ に対して $$ 0 < f(x) \sin x < {{ (a \pi)^{n} } \over { n! }} = \lim_{n \to \infty} {{ (a \pi)^{n} } \over { n! }} = 0 $$ なので $$ n \ge N \implies \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx < 1 $$ この条件を満たす$N \in \mathbb{N}$ が存在する。しかし、これは$\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx \in \mathbb{N}$ と矛盾するので、以下の結論を得る。 $$ \pi \notin \mathbb{Q} $$
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