📂整数論

ルート2が無理数であることの証明

定理

$\sqrt{2}$ は無理数だ。

証明

戦略: $\sqrt{2}$ が最低項の分数として表せると仮定して、矛盾を導く。この方法は全ての完全平方でない $n$ に対して $\sqrt{n}$ が無理数であることを証明するのに使える。

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$\sqrt{2}$ が有理数だと仮定すると、互いに素なある二つの自然数 $a,b$ と $\displaystyle \sqrt{2} = {{ a } \over {b}}$ によって、$\sqrt{2}$ は表されるべきだ。両辺に $b$ を掛けると $$\sqrt{2} b= a$$ 両辺を二乗すると $$2 b^2 = a^2$$ $a^2$ は $2$ と $b^2$ の積なので偶数であり、$a$ も偶数であるべきだ。これは、すぐに $a$ がある自然数 $A$ によって $a = 2 A$ として表せるということを意味する。 $$2 b^2 = (2A)^2 = 4 A^2$$ 両辺を $2$ で割ると $$b^2 = 2 A^2$$ $b^2$ は $2$ と $A^2$ の積なので偶数であり、$b$ も偶数であるべきだ。これは、すぐに $b$ がある自然数 $B$ によって $b = 2 B$ として表せるということを意味する。しかし、先に $\displaystyle \sqrt{2} = {{ a } \over {b}}$ としたので、 $$\sqrt{2} = {{ a } \over {b}} = {{ 2A } \over {2B}}$$ これは $a$ と $b$ が互いに素だという仮定と矛盾する。従って、$\sqrt{2}$ は無理数だ。

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参照

• $\pi$ は無理数
• $e$ は無理数