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実数値を持つ可測関数の性質 📂測度論

実数値を持つ可測関数の性質

定理1

可測空間 (X,E)(X,\mathcal{E})で定義された2つの関数 f,g:X→Rf, g : X \to \mathbb{R}が可測関数ならば、以下の関数も全て可測である。

cf,f2,f+g,fg,∣f∣ cf,\quad f^2,\quad f+g,\quad fg,\quad |f|

証明

可測関数

すべての α∈R\alpha \in \mathbb{R}に対して以下の式を満たす f:X→R‾f : X \to \overline{\mathbb{R}}を可測関数という。

Sf(α):={x∈X ∣ f(x)>α}∈E,∀α∈R S_{f}(\alpha):=\left\{ x\in X\ |\ f(x) >\alpha \right\} \in \mathcal{E},\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}

cfcf

  • Case 1. c=0c=0

    {α>0{x∈X ∣ cf(x)=0>α}=∅∈Eα≤0{x∈X ∣ cf(x)=0>α}=X∈E \begin{cases} \alpha >0 & \left\{ x \in X\ |\ cf(x)=0 > \alpha \right\} =\emptyset \in \mathcal{E} \\ \alpha \le 0 & \left\{ x \in X\ |\ cf(x)=0 > \alpha \right\}=X \in \mathcal{E} \end{cases}

  • Case 2. c>0c>0

    {x∈X ∣ cf(x)>α}={x∈X ∣ f(x)>αc}∈E \left\{ x \in X\ |\ cf(x) > \alpha \right\}= \left\{ x \in X\ |\ f(x) > \frac{\alpha}{c} \right\} \in \mathcal{E}

  • Case 3. c<0c <0

    {x∈X ∣ cf(x)>α}={x∈X ∣ f(x)<αc}∈E \left\{ x \in X\ |\ cf(x) > \alpha \right\}= \left\{ x \in X\ |\ f(x) < \frac{\alpha}{c} \right\} \in \mathcal{E}

■

f2f^2

  • Case 1. α<0\alpha < 0

    {x∈X ∣ f2(x)>α}=X∈E \left\{ x \in X\ |\ f^2(x) > \alpha \right\}=X \in \mathcal{E}

  • Case 2. α≥0\alpha \ge 0

    {x∈X ∣ f2(x)>α}={x∈X ∣ f(x)>α}∪{x∈X ∣ f(x)<−α}∈E \left\{ x \in X\ |\ f^2(x) > \alpha \right\}=\left\{ x \in X\ |\ f(x) > \sqrt{\alpha} \right\} \cup \left\{ x \in X\ |\ f(x) < -\sqrt{\alpha} \right\} \in \mathcal{E}

    右辺の二つの集合は両方とも E\mathcal{E}の要素だ。従って、σ\sigma-代数の性質により、二つの集合の和集合もσ\sigma-代数の要素だ。

■

f+gf+g

r∈Qr\in \mathbb{Q}とする。そして、以下の集合を定義しよう。

Sr:={x∈X ∣ f(x)>r}∩{x∈X ∣ g(x)>α−r} S_{r} :=\left\{ x \in X\ |\ f(x) > r \right\} \cap \left\{ x \in X\ |\ g(x) > \alpha -r \right\}

すると、右辺の二つの集合がE\mathcal{E}の要素なので、σ\sigma-代数の定義により、それらの交差点であるSrS_{r}もE\mathcal{E}の要素だ。従って、SrS_{r}の可算和集合もE\mathcal{E}の要素だ。すなわち、下記の等式を示せば、証明完了となる。

{x∈X ∣ (f+g)(x)>α}=⋃r∈QSr \left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\} = \bigcup_{r\in\mathbb{Q}}S_{r}

式を簡単にするために、{x∈X ∣ (f+g)(x)>α}={f+g>α}\left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\}=\left\{ f+g>\alpha \right\}としよう。

  • Part 1. {x∈X ∣ (f+g)(x)>α}⊃⋃r∈QSr\left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\} \supset \bigcup_{r\in\mathbb{Q}}S_{r}

    全てのrrに対して、SrS_{r}が{f+g>α}\left\{ f+g>\alpha \right\}の部分集合であるため、上記の式が成り立つのは自明だ。

  • Part 2. {x∈X ∣ (f+g)(x)>α}⊂⋃r∈QSr\left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\} \subset \bigcup_{r \in \mathbb{Q} } S_{r}

    x∈{f+g>α}x \in \left\{ f+g>\alpha \right\}と仮定し、以下の式を満たす十分に小さいϵ\epsilonを見つけよう。

    f(x)+g(x)>α+ϵ \begin{equation} f(x) + g(x) > \alpha + \epsilon \end{equation}

    そして、∣f(x)−r∣<ϵ|f(x)-r| < \epsilonとなるような有理数r<f(x)r<f(x)を選ぼう。すると、以下が成り立つ。

    r<f(x)<r+ϵ  ⟹  f(x)−ϵ<r r < f(x) < r +\epsilon \implies f(x)-\epsilon < r

    これを(1)(1)に代入すると、次を得る。

    g(x)>α−(f(x)−ϵ)>α−r g(x) > \alpha -\big( f(x) -\epsilon \big) > \alpha-r

    従って、このようなrrに対して、x∈Srx \in S_{r}なので、全てのrrの和集合に対しても、x∈⋃r∈QSrx \in \bigcup_{r\in \mathbb{Q}}S_{r}である。

Part 1 と Part 2 により、次が成り立つ。

{x∈X ∣ (f+g)(x)>α}=⋃r∈QSr \left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\} = \bigcup_{r\in\mathbb{Q}}S_{r}

■

fgfg

fg=14[(f+g)2−(f−g)2]fg=\dfrac{1}{4} \big[ (f+g)^2 - (f-g)^2 \big]なので、上述の3つの結果によって成り立つ。

■

∣f∣|f|

  • Case 1. α≥0\alpha \ge 0

    {x∈X ∣ ∣f(x)∣>α}={x∈X ∣ f(x)>α}∪{f(x)<−α}\left\{ x\in X\ |\ |f(x)| > \alpha \right\}=\left\{x\in X\ |\ f(x)>\alpha \right\} \cup \left\{ f(x)<-\alpha \right\}であり、右辺の二つの集合がE\mathcal{E}の要素であるため、その交差点もE\mathcal{E}の要素だ。

  • Case 2. α<0\alpha < 0

    自明なので{x∈X ∣ ∣f(x)∣>α}=X∈E\left\{x\in X\ |\ |f(x)| > \alpha \right\}=X \in \mathcal{E}である。

■

  1. Robert G. Bartle, 集合とLebesgue測度の要素 (1995), p9-10 ↩︎