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予測可能関数 📂測度論

予測可能関数

定義1

(X,E)(X, \mathcal{E})を可測空間としよう。集合Sf(α)S_{f}(\alpha)を次のように定義する。

Sf(α):={x∈X ∣ f(x)>α}=f−1((α,∞)),∀α∈R S_{f}(\alpha):=\left\{ x\in X\ |\ f(x) >\alpha \right\} = f^{-1}\left( (\alpha, \infty) \right),\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}

全ての実数α∈R\alpha \in \mathbb{R}に対して、Sf(α)∈ES_{f}(\alpha) \in \mathcal{E}が成立するならば、拡張実数値を取る関数f:X→R‾f : X \to \overline{\mathbb{R}}を**E\mathcal{E}-可測**E\mathcal{E}-measurableまたは単に可測measurableという。

説明

特にX=RX=\mathbb{R}の時は、ルベーグ可測という。関数が可測かどうかを判断する時、上の定義に合っているかを確認することになるが、その時に役立つ定理がある。

定理

関数f:X→R‾f : X \to \overline{\mathbb{R}}について、以下の四つの条件は互いに同値である。

  • (a) 全てのα∈R\alpha \in \mathbb{R}に対して、Aα=Sf(α)={x∈X:f(x)>α}A_{\alpha} = S_{f}(\alpha) =\left\{ x\in X : f(x) > \alpha \right\} ∈\in E\mathcal{E}である。
  • (b) 全てのα∈R\alpha \in \mathbb{R}に対して、Bα={x∈X:f(x)≤α}B_{\alpha}=\left\{ x\in X : f(x) \le \alpha \right\} ∈\in E\mathcal{E}である。
  • (c) 全てのα∈R\alpha \in \mathbb{R}に対して、Cα={x∈X:f(x)≥α}C_{\alpha}=\left\{ x\in X : f(x) \ge \alpha \right\} ∈\in E\mathcal{E}である。
  • (d) 全てのα∈R\alpha \in \mathbb{R}に対して、Dα={x∈X:f(x)<α}D_{\alpha}=\left\{ x\in X : f(x) < \alpha \right\} ∈\in E\mathcal{E}である。

証明

最初に、AαA_{\alpha}とBαB_{\alpha}は互いに補集合なので、σ-代数の性質**(D2)によって、(a)と(b)は同値である。同様に、(c)と(d)も同値である。したがって、(a)と(c)**が同値であることを示せば証明完了である。

σ\sigma-代数

集合XXが与えられたとする。以下の条件を満たすXXの部分集合たちのコレクション E⊂P(X)\mathcal{E} \subset \mathcal{P}(X)を**σ\sigma-代数**という。

  • (D1) ∅,X∈E\varnothing, X \in \mathcal{E}
  • (D2) E∈E  ⟹  Ec∈EE \in \mathcal{E} \implies E^c \in \mathcal{E}
  • (D3) Ek∈E (∀k∈N)  ⟹  ⋃k=1∞Ek∈EE_{k} \in \mathcal{E}\ (\forall k \in \mathbb{N}) \implies \bigcup_{k=1}^\infty E_{k} \in \mathcal{E}
  • (D4) Ek∈E (∀ k∈N)  ⟹  ⋂k=1∞Ek∈EE_{k} \in \mathcal{E}\ (\forall\ k \in \mathbb{N}) \implies \bigcap_{k=1}^\infty E_{k} \in \mathcal{E}

(a)   ⟹  \implies　(c)

条件**（a)が成立すると仮定しよう。すると全てのn∈Nn\in \mathbb{N}に対してAα−1n∈EA_{\alpha-\frac{1}{n}}\in\mathcal{E}が成立する。そしてCα=⋂n=1∞Aα−1nC_{\alpha}=\bigcap_{n=1}^\infty A_{\alpha-\frac{1}{n}}である。従って、σ\sigma-代数の定義（D3)**によりCα∈EC_{\alpha} \in \mathcal{E}である。

(c)   ⟹  \implies　(a)

条件**（c)が成立すると仮定しよう。すると全てのn∈Nn\in \mathbb{N}に対してCα+1n∈EC_{\alpha+\frac{1}{n}}\in\mathcal{E}が成立する。そしてAα=⋃n=1∞Cα+1nA_{\alpha}=\bigcup_{n=1}^\infty C_{\alpha+\frac{1}{n}}である。従って、σ\sigma-代数の定義（D3)**によりAα∈EA_{\alpha} \in \mathcal{E}である。

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  1. Robert G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure (1995), p8 ↩︎