📂フーリエ解析

リーマン-ルベーグの補題

定理¹

$f \in$ $L^{1}$とする。すると、次の式が成立する。

$$\lim \limits_{n \to \pm \infty} \hat{f}(\xi) = 0$$

ここで、$\hat{f}$は$f$のフーリエ変換である。

証明

step 1では階段関数 $f$について証明し、step 2では一般化する。step 1とstep 2の$f$が同じでないことに注意。

• case 1

  $f$を以下のような階段関数と仮定する。

  $$f(x) = \sum \limits_{j=1}^n c_{j} \chi_{j}(x)$$

  $c_{j}$は定数であり、$\chi_{j}(x)=\chi_{ [-x_{j}-a_{j} ,\ x_{j}+a_{j}] }(x)$である。ここで$\mathcal{F} \left[ f(x-a) \right] ( \xi ) = e^{-ia\xi}\hat{f}(\xi)$、$\chi_{[-x_{j} - a_{j},\ x_{j} + a_{j}]}(x)=\chi_{[-a_{j} ,\ a_{j}]}(x-x_{j})$、$\mathcal{F} \left[ \chi_{[-a,a]}(x) \right] = \dfrac{2 \sin(a\xi) }{\xi}$を用いると

  $$\begin{align*} \mathcal{F}\left[ \chi_{[-x_{j}-a_{j} ,\ x_{j}+a_{j}]} (x)\right] (\xi) &= \mathcal{F}\left[ \chi_{ [-a_{j} ,\ a_{j}]} (x-x_{j})\right] (\xi) \\ &= e^{-i\xi x_{j}} \mathcal{F} \left[ \chi_{[-a_{j},\ a_{j}]}(x)\right] (\xi) \\ &= e^{-i\xi x_{j}}\dfrac{2\sin (a_{j}\xi) }{\xi} \end{align*}$$

  従って、$f$のフーリエ変換は

  $$\hat{f} (\xi) = \sum \limits_{j=1}^n2 c_{j}e^{-i\xi x_{j}} \dfrac{ \sin (a_{j} \xi) }{\xi} \rightarrow 0 \quad \mathrm{as}\ \ \xi \rightarrow \pm \infty$$

• step 2

  $f \in L^{1}$と仮定する。すると、次の式を満たす階段関数の数列$\left\{ f_{n} \right\}$が存在する。

  $$\int |f_{n}(x) -f(x)| dx \rightarrow 0$$

  これを用いると

  $$\begin{align*} \sup \limits_{\xi}| \hat{f_{n}}(\xi) - \hat{f}(\xi)| &= \sup \limits_{\xi} \left| \int \big( f_{n}(x)-f(x) \big) e^{-i\xi x} dx \right| \\ &\le \sup \limits_{\xi} \int \left| f_{n}(x)-f(x) \right| dx \rightarrow 0 \end{align*}$$

  従って、$\hat{f_{n}}(\xi)$は$\hat{f}(\xi)$に一様収束する。そして、step 1の結果から

  $$\hat{f}(\xi) \rightarrow 0 \quad \mathrm{as} \ \ \xi \rightarrow \pm \infty$$

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