📂フーリエ解析

フーリエ変換の性質

定理¹

$\cal{F}f, \hat{f}$を$f$のフーリエ変換としよう。$f \in L^{1}$とする。すると、フーリエ変換について次の性質が成り立つ。

• (a) 任意の実数$a$に対して

$$\mathcal{F} \left[ f(x-a) \right] ( \xi ) = e^{-ia\xi}\hat{f}(\xi) \quad \mathrm{and} \quad \mathcal{F} \left[ e^{iax}f(x)\right] (\xi) = \hat{f}(\xi-a)$$

• (b) $\delta >0$に対して$f_\delta (x) := \frac{1}{\delta}f ( \frac{x}{\delta} )$と定義すると

$$\mathcal{F}\left[ f_\delta \right] (\xi ) = (\mathcal{F}f)(\delta \xi) \quad \mathrm{and} \quad \mathcal{F} \left[ f(\delta x) \right] (\xi) = ( \mathcal{F} f ) _{\delta} (\xi)$$

• (c) $f$が連続で、部分的に滑らかだとすると

$$\mathcal{F} \left[ f^{\prime} \right] (\xi) = i \xi \mathcal{F} f (\xi)$$

一方、$xf(x)$が積分可能なら

$$\mathcal{F} \left[ xf(x) \right] (\xi) = i ( \mathcal{F} f ) ^{\prime} (\xi)$$

• (d) もし$g\in L^{1}$なら

$$\mathcal{F} \left[ f \ast g \right] (\xi)= \hat{f} (\xi) \hat{g}(\xi)$$

この時$f \ast g$は$f$と$g$の畳み込みだ。

• (d’) $\left\{ f_{n} \right\} \subset L^{1}$に対して、

$$\mathcal{F}\left[ f_{1} \ast f_{2} \ast \cdots \ast f_{n} \right]=\hat{f_{1}} \hat{f_{2}} \cdots \hat{f_{n}}$$

説明

(a) 平行移動と指数関数の乗法が変換を通じて互いに交換されるという意味だ。平行移動した後に変換すると指数関数が乗算され、指数関数を乗算してから変換すると平行移動が現れる。 (b) 同様に、変数に$\delta$を乗算することと関数に$_\delta$を取る操作が変換を通して互いに交換される。 (c) 微分のフーリエ変換はフーリエ変換に定数$i\xi$を乗算したものと同じだ。

証明

(a)

$$\begin{align*} \mathcal{F} \left[ f(x-a) \right] (\xi) &= \int f(x-a)e^{-i\xi x} dx \\ &= \int f(y)e^{-i\xi (y+a)} dy \\ &= e^{-ia\xi} \int f(y)e^{-i\xi y}dy \\ &= e^{-ia\xi} \hat{f}(\xi) \end{align*}$$

二番目の等式は$x-a=y$で置き換えると成り立つ。

$$\begin{align*} \mathcal{F}\left[ e^{iax}f(x) \right] (\xi) &= \int f(x)e^{-i\xi x}e^{iax} dx \\ &= \int f(x) e^{-i(\xi-a)x}dx \\ &= \hat{ f }(\xi-a) \end{align*}$$

三番目の等式はフーリエ変換の定義により成り立つ。

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(b)

(a)と同様に、簡単に証明できる。

$$\begin{align*} \mathcal{F} \left[ f_\delta \right] (\xi) &= \displaystyle {\int} f_\delta (x) e^{-i\xi x} dx \\ &= {\displaystyle \int} \dfrac{1}{\delta}f \left( \frac{x}{\delta} \right)e^{-i\xi x} dx \\ &= \displaystyle{ \int} f(y) e^{-i(\delta \xi )y} dy \\ &= \hat{f}(\delta\xi) \end{align*}$$

二番目の等式は$\frac{x}{\delta}=y$で置き換えると成り立つ。

$$\begin{align*} \mathcal{F} \left[ f(\delta x) \right] (\xi) &= \displaystyle{ \int} f(\delta x)e^{-i\xi x}dx \\ &= \dfrac{1}{\delta} \displaystyle{ \int} f(y)e^{-i(\xi / \delta)y} dy \\ &= \dfrac{1}{\delta} \hat{f} ( \xi / \delta) \\ &= \hat{f}_{\delta}(\xi) = ( \mathcal{F }f )_{\delta} (\xi) \end{align*}$$

三番目の等式は$\delta x=y$で置き換えると成り立つ。

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(c)

まず、

$$\int_{0}^\infty f^{\prime}(x)dx=\lim \limits_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^tf^{\prime}(x)dt=\lim \limits_{t \rightarrow \infty} f(t)-f(0)$$

そして$f^{\prime} \in L^{1}$なので、$\displaystyle \int f^{\prime}(x)dx$が存在し、したがって$\lim \limits_{t \rightarrow \infty} f(t)$が存在する。仮定により、$f \in L^{1}$なのでその値は$0$だ。これは$\lim \limits_{t \rightarrow -\infty}f(t)$の時も同様なので、

$$\begin{equation} \lim \limits_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=0 \label{eq1} \end{equation}$$

だから、

$$\begin{align*} \mathcal{F} \left[ f^{\prime} \right] (\xi) &= \int f^{\prime}(x)e^{-i\xi x} dx \\ &= \left[ e^{-i\xi x} f(x)\right]_{-\infty}^\infty + i\xi \int f(x) e^{-i \xi x} dx \\ &= i \xi \int f(x) e^{-i\xi x}dx \\ &= i \xi \hat{f}(\xi) \end{align*}$$

二番目の等式は部分積分を用いると成り立つ。三番目の等式は$\eqref{eq1}$により成り立つ。

$$\begin{align*} \mathcal{F} \left[ xf(x) \right] (\xi) &= \int x f(x)e^{-i \xi x}dx \\ &= i\dfrac{d}{d\xi} \int f(x) e^{-i \xi x}dx \\ &= i\dfrac{d}{d \xi} \mathcal{F} f (\xi) \\ &= i (\mathcal{F} f )^{\prime}(\xi) \end{align*}$$

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(d)

畳み込みの一般的な定義を考えると、実際には(d)は性質ではなく定義だ。

$$\begin{align*} \mathcal{F} \left[ f \ast g \right] (\xi) &= \int (f \ast g)(x)e^{-i \xi x}dx \\ &= \int \left[ \int f(x-y)g(y)dy\right]e^{-i \xi x}dx \\ &= \int \left[ \int f(x-y)g(y)dy\right]e^{-i \xi (x-y)}e^{-i\xi y}dx \\ &= \int \int f(x-y)g(y)e^{-i \xi (x-y)}e^{-i\xi y}dydx \\ &= \int \int f(x-y)g(y)e^{-i \xi (x-y)}e^{-i\xi y}dxdy \\ &= \int \left[ \int f(x-y)e^{-i \xi (x-y)}dx \right] g(y)e^{-i \xi y} dy \\ &= \int \left[ \int f(z)e^{-i \xi z}dz \right] g(y)e^{-i \xi y} dy \\ &= \int \hat{f}(\xi) g(y)e^{-i \xi y} dy \\ &= \hat{f}(\xi)\int g(y)e^{-i \xi y} dy \\ &= \hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi) \end{align*}$$

七番目の等式は$x-y=z$で置き換えると成り立つ。

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(d')

畳み込みは結合法則が成り立つので、**(d)**によって直ちに成り立つ。

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