三角関数の平行移動と導関数の関係
式
- [1] サイン: $$\sin{(\theta +\frac { n }{ 2 }\pi )}={ \sin }^{ (n) }\theta$$
- [2] コサイン: $$\cos{(\theta +\frac { n }{ 2 }\pi )}={ \cos }^{ (n) }\theta$$
- $(n)$ は $n$ 度だけ微分されたという意味だ。
説明
簡単に言うと、90˚動かすたびに一回微分すればいい。実際に$n=3$について計算してみよう。
加法定理を使った方法
$$ \begin{align*} \cos(\theta +{3 \over 2}\pi ) =& \cos\theta \cos\frac { 3 }{ 2 }\pi -\sin\theta \sin\frac { 3 }{ 2 }\pi \\ =& \cos\theta \cdot 0-\sin\theta \cdot (-1) \\ =& \sin\theta $ \end{align*} $$
공식을 사용한 방법
$$ \begin{align*} { \cos }^{ (3) }\theta =& (\cos\theta )’’’ \\ =& (-\sin\theta )’’ \\ =& (-\cos\theta )’ \\ =& \sin\theta \end{align*} $90˚平行移動するケースはそんなに多くないけど、非常にシンプルな式だから、暗記するというより理解しておくといいだろう。