📂解析学

コーシー積：収束する二つの冪級数の積

定理 ¹

$f(x) : = \sum _{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}$ と $g(x) : = \sum_{k=0}^{\infty} b_{k} x^{k}$ の収束区間が $(-r,r)$ で、$c_{k} := \sum_{j=0}^{k} a_{j} b_{k-j}$ とするなら、$\sum_{k=0}^{\infty} c_{k} x^{k}$ は収束区間 $(-r,r)$ 上で $f(x)g(x)$ に収束する。

説明

係数の積が自ら二つの関数の積の係数に収束することは、実に面白い。ただの多項式なら証明すら必要ないほど明白だけど、べき級数は無限に多くの項を持っているからだ。

証明

$x \in (-r,r)$ と $n \in \mathbb{N}$ を一つずつ固定し、以下のように関数列を定義しよう。

$$ \begin{align*} f_{n} (x) : =& \sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{k} \\ g_{n} (x) : =& \sum_{k=0}^{n} b_{k} x^{k} \\ h_{n} (x) : =& \sum_{k=0}^{n} c_{k} x^{k} \end{align*} $$

有限の項に対しては、加法の交換法則が成り立つため、 $$ \begin{align*} h_{n} (x) =& \sum_{k=0}^{n} c_{k} x^{k} \\ =& \sum_{k=0}^{n} \sum_{j=0}^{k} a_{j} b_{k-j} x^{j} x^{k-j} % \\ =& \sum_{k=0}^{n} \left[ a_{0} b_{k} x^{0} x^{k} + a_{1} b_{k-1} x^{1} x^{k-1} + \cdots + a_{k-1} b_{1} x^{1} x^{k-1} + a_{k} b_{0} x^{0} x^{k} \right] \\ =& \sum_{j=0}^{0} a_{j} b_{0-j} x^{j} x^{0-j} + \sum_{j=0}^{1} a_{j} b_{1-j} x^{j} x^{1-j} + \cdots + \sum_{j=0}^{n} a_{j} b_{n-j} x^{j} x^{n-j} \\ =& + a_{0} b_{0} x^{0} x^{0} \\ & + a_{0} b_{1} x^{0} x^{1} + a_{1} b_{0} x^{1} x^{0} \\ & \vdots \\ & + a_{0} b_{n} x^{0} x^{n} + a_{1} b_{n-1} x^{1} x^{n-1} + \cdots + a_{n} b_{n} x^{n} x^{0} \\ (\text{sum by column}) =& a_{0} x^{0} \sum_{k=0}^{n} b_{k} x^{k} + a_{1} x^{1} \sum_{k=1}^{n} b_{k} x^{k-1} + \cdots + a_{n} x^{n} \sum_{k=n}^{n} b_{k} x^{k-k} \\ =& \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \sum_{k=j}^{n} b_{k-j} x^{k-j} \\ =& \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} g_{n-j} (x) \\ =& \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) + g(x) - g(x) \right] \\ =& g(x) \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} + \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) - g(x) \right] \\ =& g(x) f_{n} (x) + \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) - g(x) \right] \end{align*} $$

$\lim _{n \to \infty} f_{n} (x) = f(x)$ であれば $\lim _{n \to \infty} \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) - g(x) \right] = 0$ であることを示すだけで良い。

任意の正の数 $\varepsilon > 0$ が与えられたとする。収束区間内で $\lim _{n \to \infty} g_{n} (x) = g(x)$ かつ $f(x)$ が絶対収束するので、全ての自然数 $n > j$ について

$$ | g_{n- j } (x) - g (x) | \le M $$

$$ \sum_{k=0}^{\infty} \left| a_{k} x^{k} \right| < M $$

を満たす $M > 0$ が存在する。同じ理由でこの $M$ に対して

$$ l \ge N \implies | g_{ l } (x) - g (x) | < {{\varepsilon} \over {2M}} $$

$$ \sum_{k=N+1}^{\infty} \left| a_{k} x^{k} \right| < {{\varepsilon} \over {2M}} $$

を満たす $N \in \mathbb{N}$ を選ぶことができる。

今、$n > 2N$ とすると、

$$ \begin{align*} \left| \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) - g(x) \right] \right| =& \left| \sum_{j=0}^{N} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) - g(x) \right] + \sum_{j=N+1}^{n} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) - g(x) \right] \right| \\ \le & \left| \sum_{j=0}^{N} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) - g(x) \right] \right| + \left| \sum_{j=N+1}^{n} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) - g(x) \right] \right| \\ \le & \sum_{j=0}^{N} \left| a_{j} x^{j} \right| \left| g_{n-j} (x) - g(x) \right|+ \sum_{j=N+1}^{n} \left| a_{j} x^{j} \right| \left| g_{n-j} (x) - g(x) \right| \\ \le & {{\varepsilon} \over {2M}} \sum_{j=0}^{N} \left| a_{j} x^{j} \right| + M \sum_{j=N+1}^{n} \left| a_{j} x^{j} \right| \\ \le & {{\varepsilon} \over {2M}} \cdot M + M \cdot {{\varepsilon} \over {2M}} \\ \le & {{\varepsilon} \over {2}} + {{\varepsilon} \over {2}} \\ =& \varepsilon \end{align*} $$

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