加法関数と乗法関数 📂関数

加法関数と乗法関数

関数 $f : X \to Y$ が与えられたとしよう。 $a, b \in X$ 、 $a_{i} \in X\ (i=1,\cdots)$ とする。

部分加法関数

関数 $f$ が下の式を満たす時、部分加法関数^{subadditive function}という。

$f(a+b) \le f(a)+f(b)$

絶対値が例として挙げられる。

$|3+(-4)| \le |3|+|-4|$

別の例で、 $f(x)=2x+3$ だとすると

$13=f(2+3) \le f(2)+f(3)=7+9=16$

関数 $f$ が下の式を満たす時、加法関数^{additive function}という。

$f(a+b) = f(a)+f(b)$

部分加法性から等式が成り立つ場合だ。

例えば、 $f(x)=4x$ とすると

$20=f(2+3)=f(2)+f(3)=20$

集合 $E_{1},\ E_2$ が $E_{1} \cap E_2 = \emptyset$ を満たし、 $n(E_{i})=E_{i}$ の要素の数だとする時

$n(E_{1} \cup E_2) = n(E_{1}) + n(E_2)$

関数 $f$ が下の式を満たす時、可算部分加法関数^{countable subadditive/ $\sigma$ -subadditive function}という。

$f \left( \sum_{i=1}^\infty a_{i} \right) \le \sum \limits_{i=1}^\infty f(a_{i})$

部分加法性、加法性を見ると、任意の $N$ 個の要素に対しても成り立つことが分かる。可算個の要素に対して成り立つなら、可算部分加法性を持つと言われる。可算部分加法性を持つ例に外測度がある。

関数 $f$ が下の式を満たす時、可算加法関数^{countable additive/ $\sigma$ -additive function}という。

$f \left( \sum_{i=1}^\infty a_{i} \right) = \sum \limits_{i=1}^\infty f(a_{i})$

可算部分加法性から等式が成り立つ場合だ。

別々に識別される要素に対しては、外測度が可算加法性を持つ。 $E_{i} \cap E_{j} =\emptyset \quad \forall\ i,j$ ならば

$\mu^{\ast} \left( \bigsqcup _{i=1}^\infty E_{i} \right) = \sum _{i=1}^\infty \mu^{\ast}(E_{i})$

関数 $f$ が下の式を満たす時、部分乗法関数^{submultiplicative function}という。

$f(ab) \le f(a)f(b)$

上で話した加算に関する性質を乗算に適用したものだ。

関数 $f$ が下の式を満たす時、乗法関数^{multiplicative function}という。

$f(ab) = f(a)f(b)$

部分乗法性から等式が成り立つ場合だ。